Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije je postupak u matematici u kojemu se integral koji se ne može izračunati svodi na integral koji može.

Neodređeni integral

Formula za parcijalnu integraciju se izvodi iz formule za derivaciju produkta funkcija [math]\displaystyle{ (uv)' = u'v + uv' }[/math], koja se može zapisati kao

[math]\displaystyle{ \int uv' dx = uv - \int u'v dx }[/math]

što predstavlja formulu za parcijalnu integraciju.

Funkcije [math]\displaystyle{ u }[/math] i [math]\displaystyle{ v }[/math] moraju biti izabrane tako da je integral s desne strane jednakosti moguće lakše izračunati nego početni. Treba imati na umu da će se u postupku morati izračunati i pomoćni integral

[math]\displaystyle{ \int v' dx }[/math].

Kao jednostavan primjer može poslužiti integral

[math]\displaystyle{ \int xe^x dx }[/math]

koji se izračunava parcijalnom integracijom stavljanjem [math]\displaystyle{ u = x }[/math] i [math]\displaystyle{ v' = e^x }[/math].

Određeni integral

Neka je [math]\displaystyle{ u : [a, b] \to \mathbb{R} }[/math] neprekidna funkcija, i [math]\displaystyle{ v : [a, b] \to \mathbb{R} }[/math] neprekidno diferencijabilna funkcija. Ako je [math]\displaystyle{ U }[/math] primitivna od [math]\displaystyle{ u }[/math] tada je formula za parcijalnu integraciju:

[math]\displaystyle{ \int_a^b u(x)v(x)dx = U(b)v(b) - U(a)v(a) - \int_a^b U(x)v'(x)dx }[/math]