Noetherin teorem

Datoteka:Noether theorem 1st page.png

Prva stranica Emmy Noetherinog članka "Invariante Variationsprobleme" (1918), gdje je dokazala svoj teorem.

Noetherin teorem jest teorem u teorijskoj fizici koji povezuje simetrije i zakone očuvanja. Nazvan je po njemačkoj matematičarki Emmy Noether koja ga je prva izrekla i dokazala 1918. godine. Noetherin teorem glasi:

Za svaku kontinuiranu simetriju Lagrangeanova fizikalnog sustava postoji odgovarajući zakon očuvanja koji tvrdi da je Noetherin naboj očuvan kada vrijede jednadžbe gibanja.

Neformalno se može izreći na sljedeći način:

Ako sustav ima svojstvo kontinuirane simetrije, tada postoje odgovarajuće veličine koje su očuvane u vremenu.

Prema Noetherinom teoremu, invarijantnost konzervativnog sustava na translacije (homogenost prostora) tako vodi do očuvanja zaleta (količine gibanja), invarijantnost na rotacije (izotropnost prostora) na očuvanje zamaha (kutne količine gibanja), dok invarijantnost na vremenske translacije (homogenost vremena) vodi do očuvanje energije.

Povijesni kontekst

Emmy Noether prvenstveno je bila matematičarka koja se je bavila apstraktnom algebrom, kao i njezin otac Max Noether. Godine 1915. David Hilbert zamolio ju je za pomoć u pokušaju razumijevanja statusa očuvanja energije u općoj teoriji relativnosti.

Zakon očuvanja energije nije dobro definiran u općoj teoriji relativnosti, za razliku od klasične mehanike. Ipak, ako se prostor-vrijeme u području interesa smatra asimptotski ravnim, moguće je definirati zakon očuvanja energije. Ovaj važan aspekt opće relativnosti uvelike je pojašnjen Noetherinim teoremom.

Teorem ima važne primjene u mnogim granama fizike. Noetherin pristup identificiranja simetrija s očuvanim veličinama čini osnovu standardnog modela fizike čestica.

Definicija

Izvorno, Noetherin teorem, odnosno Noetherin prvi teorem izrekao se koristeći varijacijski račun u Lagrangeovoj formulaciji analitičke mehanike u okviru klasične teorije polja.

Noetherin teorem

Neka je zadana Lagrangeova funkcija koja ovisi samo o varijabli $\phi$ i gradijentu polja $\nabla \phi$, odnosno $L:\phi \mapsto L(\phi ,\nabla \phi )$ i neka postoji kontinuirana simetrija polja $\phi \to \phi +\delta \phi$ koja ostavlja Lagranžijan nepromijenjenim, tj. $\delta L=0$.

Varijacija $L$ po polju glasi:

$${\begin{aligned}\delta L&=\left({\frac {\delta L}{\delta \phi }}\right)\delta \phi +\left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\right)\cdot \nabla \delta \phi \\[6pt]&=\underbrace {\left({\frac {\delta L}{\delta \phi }}-\nabla \cdot \left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\right)\right)} _{\text{Euler-Lagrangeova jednadžba}}\delta \phi +\nabla \cdot \underbrace {\left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\,\delta \phi \right)} _{\text{Noetherina struja}},\end{aligned}}$$

gdje se u drugom koraku koristilo pravilo umnoška derivacije:

$f\,(\nabla g)=-\,(\nabla f)\,g+\nabla (fg).$

Euler-Lagrangeova jednadžba

Upravo zbog postojanja kontinuirane simetrije Lagranžijana, varijacija Lagranžijana isčezava $\delta L=0$, te ukoliko se zahtijeva da varijacija polja $\phi$ isčezava na rubu $\delta \phi =0$, desni član nestaje i ostaje samo lijevi član koji je jednak nuli:

$${\frac {\delta L}{\delta \phi }}-\nabla \cdot \left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\right)=0.$$

Ovo je Euler-Lagrangeova jednadžba odnosno jednadžba gibanja sustava.

Noetherina struja

Ukoliko se druge strane pretpostavi da varijacija Lagranžijana nestaje dok vrijede jedndažbe gibanja, lijevi član je po definiciji nula te ostaje samo desni član:

$$\nabla \cdot \left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\,\delta \phi \right)=0.$$

Ovo je iskaz Noetherinog teorema.

Izraz u zagradi $p_{\phi }:={\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}$ se zove kanonska količina gibanja polja $\phi$.

Noetheria struja se definira kao $j:=p_{\phi }\,\delta \phi$ te Noetherin teorem glasi:

$\nabla \cdot j=0,$

odnosno, teorem upravo govori kako je Noetherina struja očuvana ukoliko je Lagranžijan invarijantan na kontinuiranu simetriju $\phi \to \phi +\delta \phi$.

Za vremenski ovisne sustave vrijedi poopćeni izraz za Noetherinu struju:

$j^{\mu }=\sum _{i}{\frac {\delta L}{\delta (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\,\delta \phi _{i}-{\big (}L\,\delta x^{\mu }-F^{\mu }{\big )}.$

Odnosno, Noetherin teorem sada glasi:

$\partial _{\mu }j^{\mu }=0.$

Mehanika diskretnih sustava

Neka je zadana Lagrangeova funkcija za sustav s konačnim brojem stupnjeva slobode: $L=L(q,{\dot {q}},t),$ i neka postoji kontinuirana simetrija koordinata $q\to q+\delta q(t)$ koja ostavlja Lagranžijan nepromijenjenim, tj. $\delta L=0$.

Varijacija Lagranžijana glasi:

$${\begin{aligned}\delta L&={\frac {\partial L}{\partial q}}\,\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,\delta {\dot {q}}\\[2mm]&=\underbrace {\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)} _{\text{Euler-Lagrangeova jednadžba}}\delta q+{\frac {d}{dt}}\underbrace {\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,\delta q\right)} _{\text{Noetherin naboj}},\end{aligned}}$$

gdje se opet koristilo pravilo o složenoj derivaciji.

Opet, ukoliko varijacija Lagranžijana isčezava te vrijede jednadžbe gibanja, slijedi: ${\frac {d}{dt}}(p\,\delta q)=0.$ Noetherin naboj se definira kao $Q:=p\,\delta q,$ te vrijedi ${\frac {dQ}{dt}}=0$.

Ovo je iskaz Noetherinog teorema u slučaju klasične mehanike čestica. Noetherin naboj je očuvan kada je Lagranžijan invariantan uslijed kontinuirane simetrije.

Vanjske poveznice

• nLab: Noether's theorem
• MathPages: Primjeri i povijesni kontekst