Jednadžba pravca

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

Jednadžba pravca

Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

$Ax+By+C=0\,$

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

$Ax+By+C=0\,$

u drugi oblik kako slijedi

$By=-Ax-C\,$

$y=-{\frac {A}{B}}x-{\frac {C}{B}}\,$

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

$y=ax+b\,$

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

$a=-{\frac {A}{B}}$

$b=-{\frac {C}{B}}$

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

Segmentna jednadžba pravca

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

$y=ax+b\,$

u treći oblik kako slijedi

$y-ax=b\,$

${\frac {y}{b}}-{\frac {ax}{b}}=1\,$

${\frac {y}{b}}+{\frac {x}{\frac {-b}{a}}}=1\,$

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

${\frac {x}{m}}+{\frac {y}{n}}=1\,$

gdje su

$m=-{\frac {b}{a}},\,$

$n=b.\,$

Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

$ax+by+c=0\,$

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

$y=kx+l\,$

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.

Određenost pravca

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom $''T''(x_{1},y_{1})$ i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

$y-y_{1}=a(x-x_{1})\,$.

Pravac određen dvjema točkama

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke $''T_{1}''(x_{1},y_{1})$ i $''T_{2}''(x_{2},y_{2})$ prikazuje se uobičajeno u obliku

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})\,$.

Značaj

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i znanosti. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

$y=ax+b\,$

i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

$y=f(x)=ax+b\,$

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: $y=ax+b$, funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

$y=f(x)=ax\,$

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.