Jedinična matrica

Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.

[math]\displaystyle{ E_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} }[/math]

Što se također može definirati i Kroneckerovom deltom:

[math]\displaystyle{ E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}} }[/math],

gdje je:

[math]\displaystyle{ \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & , i=j\\ 0 & , i \neq j \end{matrix}\right.\quad\mbox{sa }i,j\in\{1,\ldots,n\} }[/math]

Alternativni zapisi su:

[math]\displaystyle{ E_{ij} = \delta_{ij} }[/math]

[math]\displaystyle{ E = (\delta_{ij}) }[/math]

Osobine

Množenje

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice E_n nekog prostora K^{n × n} jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

[math]\displaystyle{ EA = AE = A, \; A \in K^{n \times n} }[/math]

Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom K^{n × n} komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore K^{n × m}, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

[math]\displaystyle{ AA^{-1} = A^{-1}A = E }[/math]

Primjer:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} }[/math]

Determinanta i inverz

Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.

[math]\displaystyle{ |E| = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ E = E^{-1} }[/math]

Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:

[math]\displaystyle{ EE^{-1} = E }[/math], opće pravilo koje vrijedi za sve matrice

[math]\displaystyle{ E^{-1}EE^{-1} = E^{-1}E }[/math], množenje slijeva sa E^-1

[math]\displaystyle{ \underbrace{E^{-1}E}_{E}E^{-1} = \underbrace{E^{-1}E}_{E} }[/math], matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E

[math]\displaystyle{ \underbrace{EE^{-1}}_{E^{-1}} = E }[/math], matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe

[math]\displaystyle{ E^{-1} = E }[/math], kraj dokaza