Identitet Sophie Germain
Identitet Sophie Germain je jednakost u elementarnoj algebri kojega je koristila poznata francuska matematičarka Germain u svojim istraživanjima Posljednjeg Fermatovog teorema.[1]
Identitet glasi:
[math]\displaystyle{ a^4 + 4b^4 = ((a + b)^2 + b^2)((a - b)^2 + b^2). }[/math]
Zanimljivo je da se ovaj identitet danas često koristi pri rješavanju matematičkih zadataka olimpijskog tipa iz područa elementarne algebre.
Izvod
Izraz [math]\displaystyle{ a^4 + 4b^4 }[/math] je jednak [math]\displaystyle{ (a^2)^2 + (2b^2)^2 + 4a^2b^2 - 4a^2b^2 }[/math]. Sada slijedi [math]\displaystyle{ a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 }[/math], odnosno [math]\displaystyle{ a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab) }[/math] što konačno daje [math]\displaystyle{ ((a + b)^2 + b^2)((a - b)^2 + b^2) }[/math].