Gustoća skupa

Skup racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$. Jasno je da se radi o gustom skupu, no ovaj prikaz pokazuje da je $\mathbb {Q}$ prebrojiv, iako nije diskretan.

Skup racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$. Jasno je da se radi o gustom skupu, no ovaj prikaz pokazuje da je $\mathbb {Q}$ prebrojiv, iako nije diskretan.

Gustoća skupa, osnovno je svojstvo uređenog skupa koje određuje njegovu uređajnu i metričku strukturu. Skup može biti gust (kontinuiran) ili diskretan.

Preciznije, kažemo da je skup Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} gust ako između svaka dva distinktna (različita) elementa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x, y \in S} postoji treći distinktni element $z\in S$. S druge strane, kažemo da je uređeni skup diskretan ako nije gust.

U metričkom prostoru

Diskretni skupal može se definirati i preko metričkih prostora, a pojam gustog skupa bit će, dakle, njegova negacija. Naime, skup Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S \subseteq X} je diskretan u metričkom prostoru Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X, d)} ako za svaki Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in S} postoji Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta > 0} takav da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x, y) > \delta, \forall y \in S, y \neq x} . Naravno, skup je gust ako nije diskretan.

Ova se definicija može intuitvno i zorno predočiti. Naime, skup će biti diskretan ako i samo ako možemo pronaći (ma kako malu) vrijednost $\delta >0$ od koje će udaljenost između bilo kojih dviju točaka biti veća. U slučaju gustog skupa, dvije točke mogu biti proizvoljno "blizu" pa takav Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta > 0} ne postoji, odnosno za bilo koji $\delta >0$ možemo pronaći točke Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x, y} za koje je $d(x,y)\leq \delta$.