Toggle menu
310,1 tis.
50
18
525,6 tis.
Hrvatska internetska enciklopedija
Toggle preferences menu
Toggle personal menu
Niste prijavljeni
Your IP address will be publicly visible if you make any edits.

Kompozicija funkcija

Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija

U matematici, kompozicija funkcija formirana kompozicijom jedne funkcije drugom, predstavlja primjenu prve funkcije na rezultat primjene druge na argument. Funkcije fX → Y i gY → Z se mogu komponirati tako što se prvo primjeni funkcija f na argument x i potom primjeni funkcija g na rezultat prethodne primjene. Na taj se način dobiva funkcija g o f: X → Z definirana sa (g o f)(x) = g(f(x)) za svaki x u X. Notacija g o f se čita kao "g kružić f" ili "g komponirano sa f".

g o f, kompozicija f i g

Kompozicija funkcija je uvijek asocijativna. To jest, ako su f, g i h tri funkcije sa odgovarajuće odabranim domenama i kodomenama, tada je f o (g o h) = (f o go h. Budući da je svejedno gdje se stavljaju zagrade, mogu se slobodno izostaviti, bez utjecaja na konačni izračun.

Kao posljedica toga skup bijektivnih funkcija fX → X formmira grupu u odnosu na operator kompozicije.

Funkcije g i f komutiraju jedna sa drugom ako g o f = f o g. Općenito kompozicija funkcija nije komutativna. Komutativnost je specifično svojstvo koje imaju samo pojedine funkcije u posebnim okolnostima. Na primjer, samo kad ; za svaki negativni je prvi izraz nedefiniran. (Ali inverzne funkcije uvijek komutiraju i pritom stvaraju identitetu.

Primjer

Neka je visina zrakoplova u vremenu t dana funkcijom h(t) i neka je koncentracija kisika na visini x dana funkcijom c(x). Tada izraz (c o h)(t) opisuje koncentraciju kisika uokolo zrakoplova u vremenu t.

Funkcijske potencije

Ako YX tada se funkcija f: XY može komponirati sama sa sobom. Ovo se ponekad označava sa f 2. Shodno tome:

(f o f)(x) = f(f(x)) = f 2(x)
(f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f 3(x)

Ponavljana kompozicija funkcije samom sobom se zove iteracija funkcije.

Korištenjem definirane notacije lako dobivamo funkcijske potencije f o f nf n o ff n+1 za prirodne n

  • Dogovorno je f 0 = idD(f) (identiteta nad domenom funkcije f).
  • Ako funkcija f:XX ima inverznu funkciju, negativne funkcijske potencije f -k (k > 0) su definirane kao suprotne potencije inverzne funkcije, (f −1)k.

Iterirane funkcije se prirodno pojavljuju prilikom proučavanja fraktala i dinamičkih sustava.

Operator kompozicije

Za danu funkciju g, operator kompozicije je definiran kao operator koji preslikava funkcije na funkcije

Operatori kompozicije su predmet proučavanja matematičke discipline zvane teorija operatora.