Gram-Schmidtov postupak

Gram-Schmidtov postupak je metoda u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći. Uzmimo na primjer vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rⁿ baze {v₁, v₂, ... ,v_n}, Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {v_i} u ortonormiranu bazu, {u_i}. Prvo normaliziramo v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Nakon toga izračunavamo w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, pa normaliziramo w₂: u₂=w₂/||w₂||

Ovaj postupak primjenimo za sve vektore iz baze {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ i u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Vektori {u₁, ... ,v_n} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora Rⁿ.

Primjer

Uzmimo sljedeći skup vektora u Rⁿ (sa uobičajenim skalarnim produktom)

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.}

Sad primjenimo Gram-Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}. }

Provjerimo vektore u₁ i u₂ kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0.}

Sada ih možemo normalizirati, tako što ćemo ih podijeliti s njihovim duljinama:

Datoteka:Gram–Schmidt process.svg

Prvi koraci Gram-Schmidtovog postupka.

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{e}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

$\mathbf {e} _{2}={1 \over {\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.$