Prirodni broj

Prirodnim brojevima zovemo pozitivne cijele brojeve [math]\displaystyle{ \{1, 2, 3, ...\} }[/math]. Skup prirodnih brojeva u matematici označavamo velikim slovom [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]. Skup se često proširuje brojem nula te ga u tom slučaju označavamo sa [math]\displaystyle{ \mathbb{N}_0 }[/math].

Eksperimentalno možemo reći:

I   [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] nije prazan skup.

II   [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] je uređen skup.

III   Ako je n[math]\displaystyle{ \in\mathbb{N} }[/math], onda je skup svih prirodnih brojeva manjih od n konačan skup.

IV   Skup [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] nema maksimalnog (najvećeg) člana.

Definicija

Neprazni skup [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi su elementi prirodni brojevi, ako vrijede ovi uvjeti (aksiomi):

Aksiom A: Postoji funkcija [math]\displaystyle{ s }[/math] sa [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] u [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math].

Aksiom B: Postoji barem jedan član u [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], označimo ga sa 1, takav da je [math]\displaystyle{ s(n) \ne 1,\; \forall n\in\mathbb{N} }[/math].

Aksiom C: Ako je [math]\displaystyle{ s(m)=s(n) }[/math] za [math]\displaystyle{ m,n\in\mathbb{N} }[/math], onda je [math]\displaystyle{ m=n }[/math].

Aksiom D: Ako je [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math] podskup od [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] i ako vrijedi:

(I)  [math]\displaystyle{ 1\in \mathrm{M} }[/math]

(II)  [math]\displaystyle{ \left(\forall n\in\mathbb{N} \right) \left (n \in \mathrm{M} \Rightarrow n + 1 \in \mathrm{M} \right ) }[/math]

onda je [math]\displaystyle{ \mathrm{M}=\mathbb{N} }[/math]

Navedeni aksiomi poznati su pod imenom Peanovi aksiomi skupa prirodnih brojeva, prema talijanskom matematičaru G. Peanu (1858-1931).