Bernoullijeva nejednakost

Bernoullijeva nejednakost je nejednakost nazvana po Jacobu Bernoulliju koja služi za aproksimaciju potenciranja 1 + x. Također, ova se nejednakost često koristi za dokazivanje drugih nejednakosti u realnoj analizi.

Ona glasi ovako: za svaki prirodni broj [math]\displaystyle{ n }[/math] i svaki realni broj [math]\displaystyle{ h \gt - 1 }[/math] vrijedi [math]\displaystyle{ (1 + h)^n \geq 1 + nh. }[/math] Jednakost vrijedi samo kada je [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] ili [math]\displaystyle{ h = 0. }[/math] Uočimo da za paran broj [math]\displaystyle{ n }[/math] nejednakost ima rješenja za svaki realni [math]\displaystyle{ h. }[/math]

Jacob Bernoulli ju je prvi objavio u svojem djelu “Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis” (Basel, 1689.).

Dokazi

Dokaz matematičkom indukcijom

Nejednakost se najčešće dokazuje metodom matematičke indukcije pa ćemo ga ovdje navesti. Za [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] tvrdnja očito vrijedi. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N}. }[/math] Onda je prema pretpostavci [math]\displaystyle{ (1 + h)^{k + 1} = (1 + h)^k(1 + h) \geq (1 + kh)(1 + h). }[/math] No, desna strana nejednakosti je jednaka [math]\displaystyle{ 1 + kh + h + kh^2 \geq 1 + (k + 1)h }[/math] (jer je [math]\displaystyle{ h \gt - 1 }[/math]) pa prema tome tvrdnja vrijedi i za [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] čime je ovaj teorem dokazan.

Dokaz binomnim teoremom

Nejednakost se za [math]\displaystyle{ h \geq 0 }[/math] također može dokazati jednostavno koristeći binomni poučak. Dakle, iz binomnog poučka slijedi [math]\displaystyle{ (1 + h)^n = \tbinom n0 1 + \tbinom n1 h + \tbinom n2 h^2 + ... + \tbinom nn h^n }[/math] što je jednako [math]\displaystyle{ 1 + nh + \tbinom n2 h^2 + ... + h^n. }[/math] Očito je [math]\displaystyle{ \tbinom n2 h^2 + ... + h^n \geq 0 }[/math] pa je konačno [math]\displaystyle{ (1 + h)^n \geq 1 + nh. }[/math]

Dokaz pomoću derivacije

Dokazujemo Bernoullijevu nejednakost elementarnim diferencijalnim računom.

Neka je [math]\displaystyle{ f(h) = (1 + h)^n - 1 - nh. }[/math] Očito je [math]\displaystyle{ f(0) = 0 }[/math]. Isto tako vrijedi [math]\displaystyle{ f'(n) = n(1 + n)^{n - 1} - n \gt 0 }[/math] pa je funkcija [math]\displaystyle{ f }[/math] rastuća te je [math]\displaystyle{ f(h) \gt f(0) = 0, }[/math] što je i trebalo dokazati.