Efektivna vrijednost električnog napona i struje

Elektrotehnika

Elektricitet • Magnetizam Elektroenergetika Elektrana • Električna žarulja • Električni generator • Elektroenergetski sustav • Solarna fotonaponska energija • Trofazna struja • Vjetroelektrana • Zaštita od strujnog udara Elektronika Dinamički električni otpor • Dioda • Električni signal • Elektronska cijev • Operacijsko pojačalo • Pojačalo • Pojačanje • Strujni aktivni električni izvor • Tranzistor Elektroakustika Digitalizacija • Linearna izobličenja • Mikrofon • Niskofrekventno pojačalo snage • Niskofrekventno pretpojačalo • Snimanje zvuka • Zvučnik Električne mreže i četveropoli Električne mreže • Električni filtri • Metoda superpozicije • Nortonov poučak • Théveninov poučak Radiokomunikacije Amplitudna modulacija • Antena • Efektivna izračena snaga • Frekvencijska modulacija • Radio valovi Telekomunikacije • • • Znanstvenici i izumitelji Ampère • Coulomb • Faraday • Gauss • Heaviside • Henry • Hertz • Lorentz • Maxwell • Tesla • Volta • Weber • Ørsted

Pojam efektivne vrijednosti električnog napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju rada i snage izmjeničnog električnog napona, odn. struje. Efektivna vrijednost napona i struje kvantitativno povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s veličinom rada i snage u električnim strujnim krugovima.

Rad i snaga u mehanici

Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ukoliko je sila ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao::

[math]\displaystyle{ \!W= F s, \, }[/math]

gdje je W rad, F sila, a s put na kojem je djelovala sila. Ukoliko sila F tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:

[math]\displaystyle{ \!W = \int_{s=0}^ {s=s} F(s) ds, \, }[/math]

gdje je sila djelovala na putu od s=0 do s=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom F=F(s). Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:

[math]\displaystyle{ \!P= \frac {W}{t}, \, }[/math]

gdje je W ukupan rad izvršen u vremenu t, a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ukoliko, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:

[math]\displaystyle{ \!P= \frac {dW}{dt}, \, }[/math]

Rad i snaga u elektrostatici

Kako bi se električni naboj +q pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:

[math]\displaystyle{ \!W= F s= Eqs= Uq \, }[/math]

gdje je W rad izvršen u električnom polju, F sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, E jakost električnog polja, a U razlika potencijala između točaka na putu s, od U_s=0 do U_s=s.

Rad i snaga istosmjerne električne struje

Ukoliko se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:

[math]\displaystyle{ \!W= UIt. \, }[/math]

Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja I kroz neki otpornik otpora R tijekom vremena t. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:

[math]\displaystyle{ \!P= \frac {W}{t} = UI=\frac {U^2}{R} = I ^2R . \, }[/math]

Rad i snaga izmjeničnog napona i struje

Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora R, napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ukoliko vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:

[math]\displaystyle{ \vartriangle W= ui\vartriangle t =\frac {u^2}{R}\vartriangle t = i^2R \vartriangle t , \, }[/math]

gdje su u, odn. i neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama u(t), odn. i(t). Međutim, kada:

[math]\displaystyle{ \vartriangle t \to 0 \, }[/math]

možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu T jednak:

[math]\displaystyle{ \!W = \int_{t=0}^{t=T}\frac {u^2(t)}{R}dt = \int_{t=0}^{t=T} i^2(t)Rdt . }[/math]

Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje.

Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje

Razmotramo li pravokutni napon amplitude [math]\displaystyle{ \pm }[/math] U_m, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:

[math]\displaystyle{ \!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt. }[/math]

Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} U^2_{eff} T& = \int_{t=0}^{t=T} u^2(t)dt \\ U^2_{eff} T& = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} (-U_m)^2(t)dt \\ U^2_{eff} T& = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} U_m^2(t)dt \\ U^2_{eff} T& = U_m^2\frac{T}{2} + U_m^2T- U_m^2\frac{T}{2} \\ U^2_{eff} T & = U_m^2T /(:T) \\ U^2_{eff} & = U_m^2 /^{(1/2)} \\ U_{eff} & = U_m , \end{align} }[/math]

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti.

Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje

Razmotramo li periodički promjenljiv napon:

[math]\displaystyle{ u(t)= U_m\sin(\omega t) \, }[/math]

odn. struju:

[math]\displaystyle{ i(t)= I_m\sin(\omega t) \, }[/math]

gdje su U_m, odn. I_m vršne vrijednosti (amplitude) izmjeničnog napona, odn. struje, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:

[math]\displaystyle{ \!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt, }[/math] odn.

[math]\displaystyle{ \!W = I^2_{eff}RT= \int_{t=0}^{t=T} i^2(t)Rdt. }[/math]

Načinimo li izvod računa za, na primjer, izmjenični efektivni napon, pomnoživši jednakost s R nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ U^2_{eff}T = \int_{t=0}^{t=T} U_m^2 \sin^2(\omega t)dt }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff}T= \int_{t=0}^{t=T} U_m^2 \frac{1}{2}(1- \cos(2\omega t))dt }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff}T= \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T}dt- \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} \cos(2\omega t)dt }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff}T= \frac{T}{2} U_m^2 -\frac{1}{2\omega} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} \cos(2\omega t)d(2\omega t) }[/math]

Kako je, međutim, vrijednost integrala cos(2ωt)d(2ωt) u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} U^2_{eff} T & = \frac{T}{2} U_m^2 /(:T) \\ U^2_{eff} & = \frac{1}{2} U_m^2 /^{(1/2)} \\ U_{eff}& = \frac{1}{\sqrt2} U_m, \end{align} }[/math]

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno:

[math]\displaystyle{ U_{eff} = 0,707U_m , \, }[/math]

gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:

[math]\displaystyle{ I_{eff} = 0,707I_m . \, }[/math]

Rad i snaga izmjeničnog pilastog napona i struje

Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti [math]\displaystyle{ \pm }[/math] U_m perioda T, u vremenu od t=0 do t=T izvršen je ukupni rad:

[math]\displaystyle{ \!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt, }[/math]

Pomnožimo li jednakost s R i uzmemo li u obzir oblik pilastog napona nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ U^2_{eff} T = 2 \int_{t=0}^{t=T/2}\Bigg(U_m\frac{t}{\frac{T}{2}}\Bigg)^2 dt }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff} T= 2 \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2 \frac{4t^2}{T^2} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2} \int_{t=0}^{t=T/2} t^2dt }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2}\left.\frac{t^3}{3}\right\vert_{t=0}^{t=T/2} }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2} \frac{T^3}{3\cdot8} /:T }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff} = \frac{U_m^2}{T^3}\frac{T^3}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ U^2_{eff} = \frac{U_m^2}{3} / ^{(1/2)} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt3}, }[/math]

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pilastog oblika jednaka približno:

[math]\displaystyle{ U_{eff} = 0,577U_m , \, }[/math]

gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične struje pilastog oblika jednaka približno:

[math]\displaystyle{ I_{eff} = 0,577I_m . \, }[/math]