Eksponencijalna nejednadžba
Nejednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi na mjestu eksponenta neke potencije zove se eksponencijalna nejednadžba.
Područje definicije
Eksponencijalna nejednadžba je definirana za sve vrijednosti nepoznate veličine x iz domene realnih brojeva.
Jednostavna eksponencijalna nejednadžba
Jednostavnijom eksponencijalnom nejednadžbom možemo smatrati eksponencijalnu nejednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom u eksponentu potencije, kao na primjer:
- [math]\displaystyle{ 3^{2(x+1)} \gt 729. \, }[/math]
Uvažavajući pravila o računanju s potencijama i koristeći svojstva eksponencijalne funkcije, nalazimo redom:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 3^{2(x+1)} & \gt 3^6 \\ 2(x+1) & \gt 6 \\ 2x+2 & \gt 6 \\ 2x & \gt 4 \\ x & \gt 2 \\ \end{align} }[/math]
Rješenje ove eksponencijalne nejednadžbe bit će svaki x iz intervala [math]\displaystyle{ \left \langle 2, +\infty \right \rangle }[/math]
Složenije eksponencijalne nejednadžbe
Složenije eksponencijalne nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi u eksponentu neke potencije, a gdje se nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak.
Primjer 1
Zadana je eksponencijalna nejednadžba:
- [math]\displaystyle{ 4^{(x^2-3x+2)} \lt 16^{(x-1)}. }[/math]
Slijedom pravila koja vrijede u računanju s potencijama, rješavajući nejednadžbu nalazimo, redom:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 2^{2(x^2-3x+2)} & \lt 2^{4(x-1)} \\ 2x^2-6x+4& \lt 4x-4 \\ 2x^2-10x+8& \lt 0 /:2 \\ x^2-5x+4& \lt 0 \\ \end{align} }[/math]
Rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbu nalazimo da je rješenje kvadratne nejednadžbe svaki x iz intervala [math]\displaystyle{ \left \langle 1, 4 \right \rangle }[/math], gdje je isti interval i skup rješenja zadane eksponencijalne jednadžbe.
Primjer 2
Zadana je eksponencijalna nejednadžba oblika:
- [math]\displaystyle{ 3\cdot4^x + 2 \cdot9^x \gt 5\cdot 6^x }[/math]
Rješavajući nejednadžbu nalazimo, redom:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 3\cdot 2^{2x} + 2 \cdot3^{2x} & \gt 5\cdot 2^x3^x /:(2^x 3^x) \\ 3\frac{2^x}{3^x} +2 \frac{3^x}{2^x } & \gt 5 \\ 3{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x +2{\bigg(\frac{3}{2}\bigg)}^x & \gt 5 /supstitucija:{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x=y \\ 3y +2 \frac{1}{y }-5& \gt 0 / \cdot y \\ 3y^2 -5y +2 & \gt 0 \\ \end{align} }[/math]
Rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbu po y nalazimo da je skup rješenja kvadratne nejednadžbe svaki y iz intervala [math]\displaystyle{ \left \langle\frac{2}{3} , 1 \right \rangle }[/math]. Uzevši u obzir supstituciju gdje je (2/3)x = y, dolazimo i do konačnog rješenja početne eksponencijalne nejednadžbe gdje je rješenje svaki x iz intervala [math]\displaystyle{ \left \langle 1, 0 \right \rangle }[/math].
Primjer 3
Zadana je eksponencijalna nejednadžba oblika:
- [math]\displaystyle{ 27^{(x^2-3x-3)} - {\bigg(\frac{1}{27}\bigg)}^x \gt 0 }[/math]
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} {3}^{3(x^2-3x-3)} & \gt 3^{-3x} \\ 3(x^2-3x-3)& \gt -3x \\ 3x^2 -9x -9 & \gt -3x \\ 3x^2-6x-9& \gt 0 /:3 \\ x^2-2x-3& \gt 0 \\ \end{align} }[/math]
gdje rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbu nalazimo da je rješenja kvadratne nejednadžbe svaki x iz intervala [math]\displaystyle{ \left \langle -\infty, -1\right \rangle }[/math] i [math]\displaystyle{ \left \langle 3, + \infty \right \rangle }[/math], što je ujedno i skup rješenja zadane eksponencijalne nejednadžbe.
Literatura
- Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.