Cijeli broj

Skup cijelih brojeva je proširenje skupa prirodnih brojeva sa elementima koji su njima suprotni i sa neutralnim elementom pri zbrajanju: nule.

Skup prirodnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] ne čini grupu s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] ne postoji njemu inverzan element [math]\displaystyle{ n^{-1} \in \mathbb{N} }[/math]. Da bismo odredili svaku razliku [math]\displaystyle{ a - b }[/math] gdje su [math]\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N} }[/math] koju definiramo sa [math]\displaystyle{ a + (-b) }[/math], gdje je sa [math]\displaystyle{ -b }[/math] označen inverzni element od [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{N} }[/math], proširujemo skup [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] sa takvim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup cijelih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] je upravo takva aditivna grupa:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1 \} \cup \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0, -1, 1, -2, 2, ... \} }[/math]

Kažemo da je skup cijelih brojeva unija negativnih cijelih brojeva, neutralnog elementa za zbrajanje i prirodnih brojeva. Prema tome, skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa cijelih brojeva, što se piše kao [math]\displaystyle{ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} }[/math].

Element 0 sa svojstvom da je [math]\displaystyle{ a + 0 = 0 + a = a, \forall a \in \mathbb{Z} }[/math] nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima prirodnih brojeva ili negativnim cijelim brojevima. Vrijedi [math]\displaystyle{ a + (-a) = (-a) + a = 0, \forall a \in \mathbb{Z} }[/math], pošto je i asocijativnost zadovoljena kažemo da je skup cijelih brojeva aditivna grupa.

No, skup cijelih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] čini također i komutativni prsten zajedno sa operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da [math]\displaystyle{ 0 \cdot x = a }[/math] nema rješenje u samom, i niti jednom, prstenu. Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. Nema najvećeg (maksimalnog) niti najmanjeg (minimalnog) elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva (tj. postoji bijekcija sa [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] u [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]).