Limes (matematika)
Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.
Limes niza
Neka je [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi [math]\displaystyle{ (\forall \epsilon \gt 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N} , n\gt n_0 \Rightarrow |a_n - L|\lt \epsilon) }[/math]. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] možemo pisati kao [math]\displaystyle{ z_n=a_n+ib_n }[/math], gdje su [math]\displaystyle{ a_n }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n }[/math] realni nizovi. Ako niz [math]\displaystyle{ z_n }[/math] konvergira k [math]\displaystyle{ z=a+ib }[/math], onda vrijedi da je [math]\displaystyle{ \lim_{n} a_n=a }[/math] i isto za niz [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (što je lako pokazati).
Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.
Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n)\subseteq \mathbb{R} }[/math] takve da [math]\displaystyle{ \lim_{n} a_n=A,\lim_{n} b_n=B }[/math] i [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] vrijedi:
- [math]\displaystyle{ \lim_n (a_n+b_n)=A+B }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_n (c\cdot a_n)=c\cdot A }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_n (a_n\cdot b_n)=A\cdot B }[/math]
- [math]\displaystyle{ B\neq 0 \Rightarrow \lim_n \frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B} }[/math]
- [math]\displaystyle{ |\lim_n a_n|=\lim_n |a_n| }[/math]
Limes funkcija
| x | [math]\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} }[/math] |
|---|---|
| 1 | 0,841471... |
| 0,1 | 0,998334... |
| 0,01 | 0,999983... |
Iako funkcija (sin x)/x nije definirana za vrijednost nula, kako se x približava nuli, funkcija (sin x)/x poprima vrijednost sve bližu 1. Drugim riječima, limes funkcije (sin x)/x kada x teži nuli jednak je 1.
Neka je [math]\displaystyle{ \emptyset \neq I \subseteq \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ c\in \langle a,b \rangle }[/math],[math]\displaystyle{ \langle a,b \rangle \setminus \{c\} \subseteq I }[/math] i [math]\displaystyle{ f: I \rightarrow \mathbb{R} }[/math] funkcija. Kažemo da ƒ ima limes [math]\displaystyle{ L\in \mathbb{R} }[/math] u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi [math]\displaystyle{ ((a_n) \subseteq \langle a,b \rangle \setminus \{c\}, \lim_n a_n =c \Rightarrow \lim_n f(a_n)=L }[/math] što pišemo [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L }[/math]. To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo je li c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.
Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je [math]\displaystyle{ f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} }[/math]. Kažemo da ƒ ima limes [math]\displaystyle{ L\in \mathbb{R} }[/math] u [math]\displaystyle{ c\in I }[/math] ako vrijedi [math]\displaystyle{ (\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0) (x\in I , 0\lt |x-c|\lt \delta \Rightarrow |f(x)-L|\lt \epsilon) }[/math]