Descartesov teorem

Descartesov teorem govori o odnosu četiri kružnica koje se međusobno dodiruju, ali se ne sijeku. Teorem se može upotrijebiti za izračun četvrte kružnice od tri zadane.

Izraz teorema

Za četiri kružnice radijusa r_i (i=1,...,4) definirana je zakrivljenost k relacijom k_i=1/r_i. Ako se kružnice dodiruju tada se njihove zakrivljenosti odnose kao:

[math]\displaystyle{ (k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2). }[/math]

Iz toga slijedi da je zakrivljenost četvrtog kruga:

[math]\displaystyle{ k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}. }[/math]

Pojava ± znaka upućuje na činjenicu da postoje dva riješenja: jedno je kružnica koja opisuje sve tri zadane kružnice, a drugo je kružnica koja se nalazi unutar njih.

Vidi još

• Apolonijeva mreža