San brucoša

San brucoša je termin koji se često prirodaje sljedećoj greški u računanju n-te potencije binoma: $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}.$ Naziva se tako jer studenti prve godine nerijetko zaboravljaju ispravan razvoj kvadrata binoma koji se uči još u osnovnoj školi pa tako računaju $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2},$ što prema binomnon teoremu ne vrijedi, nego je ispravno pisati $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

U istinitost binomnog teorema za slučaj n = 2 možemo se uvjeriti ovom skicom.

Zanimljivosti

Zanimljivo je da postoji sličan identitet $(a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}{\pmod {p}}$ koji vrijedi za svaka dva cijela broja $a,b$ i za svaki neparni prosti broj $p.$

Naime, prema Malom Fermatovom teoremu vrijedi $a^{p}\equiv a{\pmod {p}},b^{p}\equiv b{\pmod {p}},$ a isto tako je $(a+b)^{p}\equiv a+b{\pmod {p}}$. Sada lagano slijedi $a^{p}+b^{p}\equiv a+b{\pmod {p}}$ te koristeći svojstvo tranzitivnosti modula zaista dobivamo da je $(a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}{\pmod {p}}.$