Toggle menu
310,1 tis.
50
18
525,6 tis.
Hrvatska internetska enciklopedija
Toggle preferences menu
Toggle personal menu
Niste prijavljeni
Your IP address will be publicly visible if you make any edits.

Aksiom matematičke indukcije: razlika između inačica

Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija
Bot: Automatski unos stranica
 
m bnz
 
Redak 1: Redak 1:
<!--'''Aksiom matematičke indukcije'''-->'''Aksiom matematičke indukcije''' je [[aksiom]] o matematičkoj (potpunoj, totalnoj) [[indukcija|indukciji]]. Omogućava da iz izvjesnih svojstava [[podskup]]a zaključimo odnos dvaju [[skup]]ova. Ovim aksiomom se mogućava i sredstvo je za prouučavati beskonačne skupove, za dokazivati [[poučak|poučke]] i za [[definicija|definiciju]] [[funkcija]].
'''Aksiom matematičke indukcije''' je [[aksiom]] o matematičkoj (potpunoj, totalnoj) [[indukcija|indukciji]]. Omogućava da iz izvjesnih svojstava [[podskup]]a zaključimo odnos dvaju [[skup]]ova. Ovim aksiomom se mogućava i sredstvo je za prouučavati beskonačne skupove, za dokazivati [[poučak|poučke]] i za [[definicija|definiciju]] [[funkcija]].


Aksiom glasi:
Aksiom glasi:

Posljednja izmjena od 28. travanj 2022. u 18:18

Aksiom matematičke indukcije je aksiom o matematičkoj (potpunoj, totalnoj) indukciji. Omogućava da iz izvjesnih svojstava podskupa zaključimo odnos dvaju skupova. Ovim aksiomom se mogućava i sredstvo je za prouučavati beskonačne skupove, za dokazivati poučke i za definiciju funkcija.

Aksiom glasi:

Neka je skup podskup skupa prirodnih brojeva .

Pretpostavimo dva svojstva skupa :

  1.   

Slijedi zaključak:

Primjeri

Možda najosnovniji primjer za metodu matematičke indukcije je suma konačno mnogo uzastopnih prirodnih brojeva. Želimo li dokazati tvrdnju, odnosno formulu možemo postupiti ovako:

Dokazujemo da tvrdnja vrijedi za prvi broj u navedenom skupu, a to je "cijeli" skup , dakle u ovom slučaju za broj 1: Time smo dokazali bazu indukcije.

Sada pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi barem za jedan broj različit od 1 iz našeg skupa, neka je to m-ti broj iz skupa Prema tome, pretpostavljamo da vrijedi (*) Ovo se zove pretpostavka indukcije.

Nadodajmo na obje strane jednakosti. Vidimo da tada tvrdnja tada vrijedi i za sljedeći broj, Dakle, pretpostavljamo da je Sada slijedi ključan korak u ovoj metodi. Prema prvoj pretpostavi lijevu stranu jednakosti (*) možemo napisati kao: što daje Time smo dokazali da ako tvrdnja vrijedi za onda nužno vrijedi i za Ovaj se dio naziva korakom indukcije.

Pokazali smo da tvrdnja vrijedi za 1. No, onda vrijedi i za 2, onda i za 3, itd. Time smo dokazali da tvrdnja vrijedi

Sada je jasan aksiom matematičke indukcije.

Izvori

  1. Kurepa, Svetozar. Matematička analiza 1. Diferenciranje i integriranje. Zagreb: Školska knjiga, 1997.; str. 17-18