Razlika između inačica stranice »Diofantova m-torka«
(Bot: Automatski unos stranica) |
m (bnz) |
||
| Redak 1: | Redak 1: | ||
U [[matematika|matematici]] '''diofantova ''m''-torka''' je [[skup]] ''m'' različitih [[prirodni broj|prirodnih brojeva]] takvih da je umnožak svakih dvaju, uvećan za 1, [[potpuni kvadrat]].<ref>{{Citiranje weba|url=https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/ecc/mtorke.html|title=Diofantove m-torke|author=Andrej Dujella|authorlink=Andrej Dujella|work=math.pmf.unizg.hr|accessdate=2021-04-08}}</ref> Na primjer, brojevi 1, 3, 8, 120 čine diofantsku četvorku (tu je ''m=4'') jer je | |||
:<math>\begin{array}{rcl} 1\cdot 3+1&=&2^2 \\ 1\cdot 8+1&=&3^2 \\ 1\cdot 120+1&=&11^2 \\ 3\cdot 8+1&=&5^2 \\ 3\cdot 120+1&=&19^2 \\ 8\cdot 120+1&=&31^2 | :<math>\begin{array}{rcl} 1\cdot 3+1&=&2^2 \\ 1\cdot 8+1&=&3^2 \\ 1\cdot 120+1&=&11^2 \\ 3\cdot 8+1&=&5^2 \\ 3\cdot 120+1&=&19^2 \\ 8\cdot 120+1&=&31^2 | ||
Trenutačna izmjena od 02:39, 13. travnja 2022.
U matematici diofantova m-torka je skup m različitih prirodnih brojeva takvih da je umnožak svakih dvaju, uvećan za 1, potpuni kvadrat.[1] Na primjer, brojevi 1, 3, 8, 120 čine diofantsku četvorku (tu je m=4) jer je
- [math]\displaystyle{ \begin{array}{rcl} 1\cdot 3+1&=&2^2 \\ 1\cdot 8+1&=&3^2 \\ 1\cdot 120+1&=&11^2 \\ 3\cdot 8+1&=&5^2 \\ 3\cdot 120+1&=&19^2 \\ 8\cdot 120+1&=&31^2 \end{array} }[/math]
Ova četvorka bila je poznata Fermatu. Koji god prirodni broj dodali (različit od ovih četiriju), dobiveni skup od pet brojeva ne čini diofantsku petorku. To je dokazano tek u drugoj polovici 20. stoljeća, koristeći složene matematičke metode i uz pomoć kompjutora.[2] Krajem 2015. godine nije bila poznata nijedna diofantska petorka. To je jedan od problema koje je Michel Waldschmidt uvrstio među važne neriješene diofantske probleme.[3] Znade se da diofantskih petorka ima najviše konačno mnogo i da ne postoji nijedna Diofantova šestorka.[4] Ako se dopuste racionalni, a ne samo prirodni brojevi, m-torka se naziva racionalnom. Poznato je da postoji beskonačno mnogo racionalnih diofantskih šestorka, ali se ne zna ima li ijedna racionalna Diofantova sedmorka.[5]
Naziv je nastao prema starogrčkom matematičaru Diofantu koji je prvi razmatrao četvorke brojeva s gornjim svojstvom (istina, njegov primjer takve četvorke čine racionalni brojevi, a ne prirodni).
Izvori
- ↑ Andrej Dujella. "Diofantove m-torke". math.pmf.unizg.hr. https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/ecc/mtorke.html Pristupljeno 8. travnja 2021.
- ↑ A. Baker, H. Davenport (1969). "The equations 3x²−2=y² and 8x²−7=z²" (engl.). The Quarterly Journal of Mathematics 20 (1): 129–137. 10.1093/qmath/20.1.129. https://academic.oup.com/qjmath/article-lookup/doi/10.1093/qmath/20.1.129 Pristupljeno 8. travnja 2021.
- ↑ M. Waldschmidt, Open Diophantine Problems, Moscow Mathematical Journal 4 (1): 245–305. ISSN 1609-3321
- ↑ A. Dujella (5. siječnja 2004.). "There are only finitely many Diophantine quintuples". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 2004 (566). 10.1515/crll.2004.003. https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.2004.003/html Pristupljeno 8. travnja 2021.
- ↑ A. Dujella, M. Kazalicki, M. Mikic, M. Szikszai, There are infinitely many rational Diophantine sextuples, Int. Math. Res. Not. IMRN, (u tisku)