Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli
Rođenje	6. siječnja 1655. Basel, Švicarska
Smrt	16. kolovoza 1705. Basel, Švicarska
Državljanstvo	Švicarac
Polje	fizika, matematika
Institucija	Šveučilište u Baselu
Alma mater	Šveučilište u Baselu
Poznat po	Bernoullijeva lemniskata, Zakon velikih brojeva
brat Johanna Bernoullija

Jakob Bernoulli (Basel, 6. siječnja 1655. – Basel, 16. kolovoza 1705.), švicarski matematičar. Brat Johanna Bernoullija. Od 1687. profesor matematike u Baselu. Dao važne priloge teoriji beskonačnih redova, riješio neke od osnovnih problema računa varijacija i znatno unaprijedio teoriju vjerojatnosti u posmrtno objavljenom djelu Umijeće pogađanja (lat. Ars conjectandi, 1713.), u kojem se kao glavni poučak pojavljuje zakon velikih brojeva. Bavio se i geometrijom te dao analitičke izraze za niz krivulja (na primjer za lančanicu, logaritamsku i paraboličnu spiralu). Našao rješenja niza diferencijalnih jednadžbi (na primjer izoperimetričkog problema; Bernoullijeva diferencijalna jednadžba). Prvi primijenio računanje integrala. Naziv integral uveo je poslije Gottfried Leibniz.

Znatno su pridonijeli razvoju teorije elastičnosti i analitičkim metodama o nauci o čvrstoći braća Jakob i Johann Bernoulli. Oni su razmatrali deformacije grede pri savijanju. Jacob Bernoulli je uveo pretpostavku da pri savijanju poprečni presjeci ostaju ravni. On je 1694. utvrdio da je zakrivljenost elastične linije sukladna (proporcionalna) momentu savijanja.

U svom djelu “Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis” (Basel, 1689.) prvi je objavio nejednakost koja je po njemu poslije dobila ime.

Zakon velikih brojeva

Zakon velikih brojeva je teorem u teoriji vjerojatnosti prema kojemu će prosječni rezultat ponavljanja nekog događaja velik broj puta biti blizu određene vrijednosti iako događaj uključuje slučajne varijable. Prosječna vrijednost slučajne varijable ${\overline {X}}_{n}$ postaje sve bliža očekivanoj vrijednosti: μ (aritmetičkoj sredini raspodjele numeričkih vrijednosti varijable) što je broj događaja n veći (ako n → ∞, onda ${\overline {X}}_{n}\,\to \,\mu$), gdje je:

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$

za koje vrijedi:

${\overline {X}}_{n}\,\to \,\mu \qquad {\textrm {za}}\qquad n\to \infty ,$

gdje su: x₁, …, x_n vrijednosti su slučajne varijable.

Veću točnost rezultata obrade statističkih podataka što je broj ponavljanih događaja veći, prvi je bez matematičkog dokaza uočio Girolamo Cardano. Jakob Bernoulli dokazao je zakon velikih brojeva za slučajne binarne varijable, a daljnjim poboljšanjima dokaza zakona velikih brojeva pridonijeli su Pafnutij Ljvovič Čebišov, Andrej Andrejevič Markov, Émile Borel, Andrej Kolmogorov te je on danas dokazan za proizvoljan broj slučajnih varijabli.