Hiperbola (krivulja)

Hiperbola ili kosatica je vrsta krivulje.

Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i F2, te duljinu 2a koja simetrično leži na dužini F1F2 uz uvjet 2a<d(F1, F2), tada hiperbolom s fokusima (žarištima) u točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.

Smjestimo li središte hiperbole u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost /OF1/=/OF2/ nazivamo linearnim ekscentricitetom hiperbole. Numerički ekscentricitet hiperbole određen je kao

[math]\displaystyle{ \epsilon\, = \frac{e}{a} \gt 1 }[/math]

Jednadžba hiperbole

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, realnom poluosi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

[math]\displaystyle{ b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 \, }[/math]

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

[math]\displaystyle{ {\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}}= 1 }[/math]

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(p, q)

Hiperbola sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q), realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

[math]\displaystyle{ b^2(x-p)^2 - a^2(y-q)^2 = a^2b^2 \, }[/math]

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

[math]\displaystyle{ \frac{(x-p)^2}{a^2}- \frac{(y-q)^2}{b^2}= 1 }[/math]

Tangenta hiperbole

Tangenta hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Tangenta hiperbole koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

[math]\displaystyle{ 2b^2 xdx - 2a^2ydy = 0\, }[/math]

odakle slijedi da je

[math]\displaystyle{ y'= \frac{dy}{dx} = \tan \alpha\, = {\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}} }[/math]

te da je jednadžba tangente na hiperbolu

[math]\displaystyle{ y-y_0 = {\frac{b^2}{a^2}}{\frac{x_0}{y_0}}(x-x_0) }[/math]

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente hiperbole

[math]\displaystyle{ \frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1 }[/math]

Tangenta hiperbole sa središtem u S(p, q)

Tangenta hiperbole koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

[math]\displaystyle{ {2b^2(x-p)dx-2a^2(y-q)dy} = 0 \, }[/math]

odakle slijedi da je je

[math]\displaystyle{ y'= \frac{dy}{dx} = \tan \alpha\, = {\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}} }[/math]

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente hiperbole

[math]\displaystyle{ y-y_0 = {\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}}(x-x_0) }[/math]