Vidi kôd stranice Cayley-Hamiltonov teorem

'''Cayley-Hamiltonov teorem''' je jedan od najznačajnijih tvrdnji u [[linearna algebra|linearnoj algebri]]. Glasi:
:''Svaka kvadratna matrica poništava svoj [[karakteristični polinom]].''

Promotrimo na primjer [[matrica (matematika)|matricu]]

:<math>A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.</math>

Njen karakteristični polinom je

:<math>p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.</math>

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

:<math>A^2-5A-2I_2=0</math>

==Dokaz==

Svaka matrica :<math>A</math> ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

:<math>P(\lambda)=a_n*\lambda^n+a_{n-1}*\lambda^{n-1} +...+a_1*\lambda+a_0=0</math>

To jest u matričnom obliku je:

:<math>P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1} +...+a_1*A+a_0=0</math>

gdje je :<math>A</math> kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :<math>B</math>, koja je jednaka:

:<math>B=(A - \lambda*E)</math>

gdje je :<math>E</math> jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :<math>B</math> je jednaka:

:<math>B^{-1}=\frac{1}{det(B)}*adj(B)</math>

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu sa B s lijeve i desne strane:

:<math>B*B^{-1}=\frac{B}{det(B)}*adj(B)</math>

:<math>B^{-1}*B=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B</math>

Slijedi:

:<math>E=\frac{B}{det(B)}*adj(B)</math>

:<math>E=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B</math>

:<math>det(B)*E=B*adj(B)</math>

:<math>det(B)*E=adj(B)*B</math>

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

:<math>\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n</math>

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

:<math>det(B)*E=B*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n</math>

:<math>det(B)*E=(A -\lambda*E)*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n</math>

:<math>det(B)*E=A*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n - \lambda*E*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n</math>

Razvijmo sumu u red oblika:

:<math>det(B)*E=A*B_0 +A*\lambda*B_1 + A*\lambda^2*B_2+...+A*\lambda^{n-1}*B_{n-1} - \lambda*B_0-\lambda^2*B_1-...-\lambda^n*B_{n-1}</math>

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

:<math>det(B)*E=A*B_0 +\lambda*(A*B_1-B_0) + \lambda^2*(A*B_2-B_1)+...+\lambda^{n-1}(A*B_{n-1}-B_{n-2}) - \lambda^n*B_{n-1}</math>

Usporedimo ovu jednadžbu sa karakterističnim polinomom matrice :<math>A</math>

:<math>P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1} +...+a_1*A+a_0=0</math>

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

:<math>A*B_0=a_0*E</math>
:<math>A*B_1-B_0=a_1*E</math>
.         .           .
.         .           .
.         .           .
:<math>A*B_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}*E</math>
:<math>B_{n-1}=a_n*E</math>

Ako dobijeni sistem jednadžbi pomnožimo sa A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

:<math>A*B_0=a_0*E</math>
:<math>A^2*B_1-A*B_0=a_1*A</math>
.         .           .
.         .           .
.         .           .
:<math>A^n*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}=a_{n-1}*A^{n-1}</math>
:<math>A^n*B_{n-1}=a_n*A^n</math>

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

:<math>P(A)=A*B_0+A^2*B_1-A*B_0+...+A^n*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}-A^n*B_{n-1}</math>

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je: 

:<math>P(A)=0</math>

{{mrva-mat}}

[[Kategorija:Linearna algebra]]