Cauchyeve funkcijske jednadžbe
Cauchyjeve funkcijske jednadžbe smatraju se najvažnijim funkcijskim jednadžbama. Nazvane su prema francuskom matematičaru Augustinu Louisu Cauchyu.
Postoje četiri tipa Cauchyjevih funkcijskih jednadžbi: aditivna, multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska.[1] Najprepoznatljivija od njih je aditivna, [math]\displaystyle{ f(x + y) = f(x) + f(y) }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} }[/math].
Rješenje aditivne Cauchyeve funkcijske jednadžbe
Treba naći sve funkcije [math]\displaystyle{ f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] za koje je [math]\displaystyle{ f(x + y) = f(x) + f(y) }[/math] za sve [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Q} }[/math].
Rješenje. Uvrštavanjem [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math] dobivamo [math]\displaystyle{ f(x) = f(x) + f(0) }[/math] pa je [math]\displaystyle{ f(0) = 0 }[/math]. Uvrštavanjem [math]\displaystyle{ y = - x }[/math] dobivamo [math]\displaystyle{ f(0) = 0 = f(x) + f(- x) }[/math] što znači da je [math]\displaystyle{ f(- x) = - f(x) }[/math]. Dakle, sve funkcije koje zadovoljavaju gornju jednadžbu su neparne funkcije.
Neka je sada [math]\displaystyle{ f(1) = c }[/math]. Vrijedi [math]\displaystyle{ f(nx) = f(x + x + ... + x) \ \text{(n puta)}. }[/math] Iz ovoga je [math]\displaystyle{ f(nx) = f(x) + f(x) + ... + f(x) \ \text{(n puta)}. }[/math] Sada zaključujemo da vrijedi [math]\displaystyle{ f(nx) = nf(x) }[/math] za sve [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math]. Dakle, vrijedi i [math]\displaystyle{ f(\frac{n}{m}x) = \frac{f(nx)}{m} = \frac{n}{m}f(x) }[/math] za sve [math]\displaystyle{ n, m \in \mathbb{Q}^+ }[/math].
No, to znači da je [math]\displaystyle{ f(q) = qf(1) = qc }[/math] za sve [math]\displaystyle{ q \in \mathbb{Q} }[/math].
Provjerom se lako vidi da to zaista jest rješenje.
Ostali tipovi Cauchyeve jednadžbe
Osim aditivne postoje i multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska funkcijska jednadžba.
One glase ovako.
- multiplikativna: [math]\displaystyle{ f(xy) = f(x)f(y) }[/math],
- eksponencijalna: [math]\displaystyle{ f(x+y)=f(x)f(y) }[/math],
- logaritamska: [math]\displaystyle{ f(xy)=f(x)+f(y) }[/math].