Cauchyeve funkcijske jednadžbe

Cauchyjeve funkcijske jednadžbe smatraju se najvažnijim funkcijskim jednadžbama. Nazvane su prema francuskom matematičaru Augustinu Louisu Cauchyu.

Postoje četiri tipa Cauchyjevih funkcijskih jednadžbi: aditivna, multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska. Najprepoznatljivija od njih je aditivna, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ gdje je $f:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$.

Rješenje aditivne Cauchyeve funkcijske jednadžbe

Treba naći sve funkcije $f:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$ za koje je $f(x+y)=f(x)+f(y)$ za sve $x,y\in \mathbb {Q}$.

Rješenje. Uvrštavanjem $y=0$ dobivamo $f(x)=f(x)+f(0)$ pa je $f(0)=0$. Uvrštavanjem $y=-x$ dobivamo $f(0)=0=f(x)+f(-x)$ što znači da je $f(-x)=-f(x)$. Dakle, sve funkcije koje zadovoljavaju gornju jednadžbu su neparne funkcije.

Neka je sada $f(1)=c$. Vrijedi $f(nx)=f(x+x+...+x)\ {\text{(n puta)}}.$ Iz ovoga je $f(nx)=f(x)+f(x)+...+f(x)\ {\text{(n puta)}}.$ Sada zaključujemo da vrijedi $f(nx)=nf(x)$ za sve $n\in \mathbb {N}$. Dakle, vrijedi i $f({\frac {n}{m}}x)={\frac {f(nx)}{m}}={\frac {n}{m}}f(x)$ za sve $n,m\in \mathbb {Q} ^{+}$.

No, to znači da je $f(q)=qf(1)=qc$ za sve $q\in \mathbb {Q}$.

Provjerom se lako vidi da to zaista jest rješenje.

Ostali tipovi Cauchyeve jednadžbe

Osim aditivne postoje i multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska funkcijska jednadžba.

One glase ovako.

• multiplikativna: $f(xy)=f(x)f(y)$,
• eksponencijalna: $f(x+y)=f(x)f(y)$,
• logaritamska: $f(xy)=f(x)+f(y)$.