Lema o trozupcu

Lema o trozupcu

Ovaj članak ili dio članka nije pokriven izvorima. Pomozite Wikipediji navođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica.

U geometriji, lema o trozupcu (rus. лемма о трезубце) povezuje trokutu opisanu, upisanu i pripisanu kružnicu.

Lema o trozupcu

Teorem

Neka je ABC trokut. Neka je I središte trokutu upisane kružnice. Neka je D sjecište BI (simetrala kuta ∠ABC) i opisane kružnice trokuta ABC. Lema o trozupcu kaže da je

${\overline {DA}}={\overline {DC}}={\overline {DI}}={\overline {DE}}$

gdje je E središte trokutu pripisane kružnice koja dira AB, BC i AC.

Dokaz

Kutevi nad istom tetivom:

$|\angle ABI|=|\angle DCA|,\quad |\angle CBI|=|\angle DAC|.$

Pošto je BI simetrala kuta:

${\begin{aligned}&|\angle DCA|=|\angle DAC|\\[6pt]\Rightarrow {}&|AD|=|CD|,{\text{ te }}|\angle DIA|=180^{\circ }-|\angle AIB|\\[6pt]={}&180^{\circ }-(180^{\circ }-|\angle IAB|-|\angle IBA|)\\[6pt]={}&|\angle IAB|+|\angle IBA|=|\angle IAC|+|\angle CAD|\\[6pt]={}&|\angle IAD|\\[6pt]\Rightarrow {}&|AD|=|DI|.\end{aligned}}$

Dokažimo još da je DI = DE.

$|\angle IAE|=|\angle IAC|+|\angle CAE|={\frac {1}{2}}|\angle BAC|+{\frac {1}{2}}(180^{\circ }-|\angle BAC|)={\frac {180^{\circ }}{2}}=90^{\circ }$

pa je ΔIAE pravokutan. Točka D je jedinstvena koja zadovoljava DA = DI pa mora još DI = DE.