Abelov poučak

Abelov teorem je jedan od temeljnih teorema u matematičkoj analizi, posebice u proučavanju reda funkcija. Teorem je nazvan po norveškom matematičaru Nielsu Henriku Abelu. Iskaz teorema glasi:

Ako red potencija $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$ konvergira u točki $x_{0}\neq 0$, tada taj red konvergira apsolutno i uniformno na svakom segmentu $[-a,a]\subset (-|x_{0}|,|x_{0}|)$.

Dokaz

Neka je $x\in [-a,a]$ proizvoljan. Red $\sum _{k=0}^{\infty }ak{x_{0}}^{k}$ konvergira pa je niz $(a_{k}{x_{0}}^{k}$ nula niz (niz s limesom u nuli), a time je to i ograničen niz. Dakle, postoji konstanta $M>0$ takva da je $|a_{k}{x_{0}}^{k}|<M,k=0,1,2,...$ Odavde i iz $a_{k}x^{k}=a_{k}{x_{0}}^{k}({\frac {x}{x_{0}}})^{k}$ dobivamo $|a_{k}x^{k}|=|a_{k}{x_{0}}^{k}|\cdot |{\frac {x}{x_{0}}}|^{k}<M\cdot |{\frac {x}{x_{0}}}|^{k}\leq M\cdot |{\frac {a}{x_{0}}}|^{k}.$(*)

Kako je $0<a<|x_{0}|$, lako zaključujemo da geometrijski red $\sum _{k=0}^{\infty }|{\frac {a}{x_{0}}}|^{k}$ konvergira, a zbog (*) slijedi apsolutna i uniformna konvergencija reda $\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}x^{k}$ na segmentu $[-a,a]$.