Rodila se je u športskoj obitelji. Otac Igor Vekić bio je vratar u NK Osijeku[1], a mati Brankica bila je poznata atletičarka i državna prvakinja na 100 i 400 metara.[2] Baka Lidija također je bila u športu, a radila je kao nastavnica tjelesnog odgoja.[3]
Vekić je počela trenirati tenis sa šest godina.[4] Godine 2011. s nepunih je 15 godina osvojila juniorsko prvenstvo Hrvatske.[5] U srpnju iste godine u Chiswicku, predgrađu Londona, došla je do prvog ITF naslova. Za hrvatsku je Fed Cup reprezentaciju debitirala u veljači 2012. godine, ubilježivši poraz od Urszule Radwańske iz Poljske i pobjedu nad Anitom Husarić iz BiH.[6][7] U to vrijeme se o njoj pisalo kao o jednoj od najperspektivnijih svjetskih igračica.[8][9]
Do svoje prve WTA titule došla je 2014. u Kuala Lumpuru pobijedivši u finalu 10. tenisačicu svijeta Dominiku Cibulkovu. Drugu titulu osvojila je 2017. u Nottinghamu pobijedivši u finalu domaću predstavnicu i tadašnju 10. igračicu svijeta Johannu Kontu.