Rocheova granica

Plimna sila u nebeskoj mehanici djeluje općenito na bilo koja dva nebeska tijela, ako veličina jednog tijela nije zanemariva s obzirom na udaljenost do drugog tijela (općenito M je nebesko tijelo kao planet, a m prirodni ili umjetni satelit).

Plimna sila je uzrokovana gravitacijskim privlačenjem vodenih masa od strane Sunca i Mjeseca, te centrifugalnom silom koja se javlja uslijed okretanja Zemlje i Mjeseca odnosno Zemlje i Sunca oko zajedničkog centra masa (baricentar).

Rocheova granica (prema francuskom matematičaru i astronomu Édouardu Rocheu, koji ju je 1847. prvi teorijski odredio) je udaljenost od središta većega nebeskoga tijela do točke u kojoj je gravitacijska sila toga tijela jednaka gravitacijskoj sili satelitskoga tijela. Općenito vrijedi Rocheov odnos, koju su učinili točnijom James Hopwood Jeans (1917. i 1919.) i Subrahmanyan Chandrasekhar (1969.) za krute satelite:

[math]\displaystyle{ d = 1.26\; R_M\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} }[/math]

gdje je:

• d - Rocheova granica za krute satelite (m),
• R_M - polumjer nebeskog tijela (m),
• ρ_M - gustoća planeta (kg/m³),
• ρ_m - gustoća satelita (kg/m³).

Ta se jednakost može pisati i kao:

[math]\displaystyle{ d = 1.26\; R_m\left( \frac {M_M} {M_m} \right)^{\frac{1}{3}} }[/math]

gdje je:

• d - Rocheova granica za krute satelite (m),
• M_M - masa planeta (kg),
• M_m - masa satelita (kg).

Unutar Rocheove granice, zbog utjecaja plimnih sila, sateliti koje na okupu drži uglavnom gravitacijska sila raspadaju se.

Za fluidne satelite (tekuće, plinovite ili satelit sastavljene od labave nakupine krutih dijelova) vrijedi:

[math]\displaystyle{ d \approx 2.44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} }[/math]

Za planete gustoće slične Zemljinoj, uz uvjet da je masa satelita mnogo manja od mase planeta, Rocheova granica za fluidne satelite iznosi oko 2.44 polumjera planeta. Tako se na primjer dijelovi Saturnova prstena ne mogu gravitacijski skupiti u jedan ili više satelita, jer se nalaze unutar 2.3 Saturnova polumjera. Opstaju sateliti čvrste građe, koje osim gravitacijskih povezuju i sile veće od plimnih sila planeta, u granicama od 1.26 do 2.44 polumjera planeta.

Deriviranje formule za Rocheovu granicu

[math]\displaystyle{ F_G = \frac{Gmu}{r^2} }[/math]

Plimna sila [math]\displaystyle{ F_P }[/math] na masu [math]\displaystyle{ u }[/math] prema planetu ili primarnom tijelu s polumjerom [math]\displaystyle{ R }[/math] i udaljenosti [math]\displaystyle{ d }[/math] izmeđe centara dvaju tijela može se napisati sljedećom jednadžbom :

[math]\displaystyle{ F_P = \frac{2GMur}{d^3} }[/math]

Rocheova granica je dostignuta kada je gravitacijska sila jednaka plimnoj:

[math]\displaystyle{ F_G = F_P }[/math]

ili

[math]\displaystyle{ \frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3} }[/math]

Iz koje se brzo dobiva Rocheova granica, d kao:

[math]\displaystyle{ d = r \left( 2 M / m \right)^{\frac{1}{3}} }[/math]

Pošto polumjer satelita nije potraban u formuli, ovo se može izraziti koristeći specifične gustoće dvaju dijela:

Za okruglu masu [math]\displaystyle{ M }[/math] može se napisati

[math]\displaystyle{ M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3} }[/math] gdje [math]\displaystyle{ R }[/math] polumjer planeta ili osnovong tijela

Također:

[math]\displaystyle{ m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3} }[/math] gdje [math]\displaystyle{ r }[/math] polumjer satelita

[math]\displaystyle{ d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3} }[/math]

podjednostavljeno:

[math]\displaystyle{ d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} }[/math]

Raspadanje kometa Shoemaker-Levy 9 1994. uslijed utjecaja Jupiterove plimne sile i prelaska Rocheove granice.

Primjeri Rocheove granice

Prva tablica prikazuje gustoće i ekvatorijalne polumjere nekih nebeskih tijela u Sunčevu sustavu:

Veće nebesko tijelo	Gustoća (kg/m3)	Polumjer (m)
Sunce	1.408	696 000 000
Jupiter	1.326	71 492 000
Zemlja	5.513	6 378 137
Mjesec	3.346	1 738 100
Saturn	687	60 268 000
Uran	1.318	25 559 000
Neptun	1.638	24 764 000

Koristeći gornje podatke, Rocheova granica se može izračunati s obzirom na krute ili fluidne satelite (tekuće, plinovite ili satelite sastavljene od labave nakupine krutih dijelova). Prosječna gustoća kometa se uzima oko 500 kg/m³.

Tablica ispod prikazuje Rocheove granice izražene u kilometrima i s obzirom na polumjer velikog nebeskog tijela. Stvarna Rocheova granica za satelit ovisi o stvarnoj gustoći i krutosti satelita (neznatno odstupa):

Nebesko tijelo	Satelit	Rocheova granica (kruti)		Rocheova granica (fluidni)
		Udaljenost (km)	R	Udaljenost (km)	R
Zemlja	Mjesec	9 496	1.49	18 261	2.86
Zemlja	prosječni komet	17 880	2.80	34 390	5.39
Sunce	Zemlja	554 400	0.80	1 066 300	1.53
Sunce	Jupiter	890 700	1.28	1 713 000	2.46
Sunce	Mjesec	655 300	0.94	1 260 300	1.81
Sunce	prosječni komet	1 234 000	1.78	2 374 000	3.42

Da bi pokazali koliko su daleko prirodni sateliti u Sunčevu sustavu od Rocheove granice, u tablici su dati polumjeri putanja unutarnjih planeta podijeljeni s vlastitom Rocheovom granicom. Date su vrijednosti i za krute i za fluidne satelite. Treba zapaziti da su posebno Pan, Kordelija i Najada vrlo blizu stvarne granice raspadanje.

U stvarnosti, gustoća većine unutarnjih prirodnih satellite za velike planet nije poznata. U tom slučaju, prikazano ukošeno, vrijednosti se pretpostavljaju, pa stvarna vrijednost Rocheove granice može neznatno odstupati.

Veće nebesko tijelo	Satelit	Polumjer putanje / Rocheova granica
		(kruti)	(fluidni)
Sunce	Merkur	104	54
Zemlja	Mjesec	41	21
Mars	Fobos	1.72	0.89
	Deimos	4.51	2.34
Jupiter	Metida	~1.86	~0.94
	Adrasteja	~1.88	~0.95
	Amalteja	1.75	0.88
	Teba	2.54	1.28
Saturn	Pan	1.42	0.70
	Atlas	1.56	0.78
	Prometej	1.62	0.80
	Pandora	1.67	0.83
	Epimetej	2.00	0.99
	Janus	1.95	0.97
Uran	Kordelija	~1.54	~0.79
	Ofelija	~1.66	~0.86
	Bjanka	~1.83	~0.94
	Kresida	~1.91	~0.98
	Dezdemona	~1.94	~1.00
	Julija	~1.99	~1.02
Neptun	Najada	~1.39	~0.72
	Talasa	~1.45	~0.75
	Despina	~1.52	~0.78
	Galateja	1.53	0.79
	Larisa	~2.18	~1.13
Pluton	Haron	12.5	6.5

Vidi

• Galaktička plima