Gustoća skupa

Skup racionalnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]. Jasno je da se radi o gustom skupu, no ovaj prikaz pokazuje da je [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] prebrojiv, iako nije diskretan.

Gustoća skupa, osnovno je svojstvo uređenog skupa koje određuje njegovu uređajnu i metričku strukturu. Skup može biti gust (kontinuiran) ili diskretan.

Preciznije, kažemo da je skup [math]\displaystyle{ S }[/math] gust ako između svaka dva distinktna (različita) elementa [math]\displaystyle{ x, y \in S }[/math] postoji treći distinktni element [math]\displaystyle{ z \in S }[/math]. S druge strane, kažemo da je uređeni skup diskretan ako nije gust.

U metričkom prostoru

Diskretni skupal može se definirati i preko metričkih prostora, a pojam gustog skupa bit će, dakle, njegova negacija. Naime, skup [math]\displaystyle{ S \subseteq X }[/math] je diskretan u metričkom prostoru [math]\displaystyle{ (X, d) }[/math] ako za svaki [math]\displaystyle{ x \in S }[/math] postoji [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ d(x, y) \gt \delta, \forall y \in S, y \neq x }[/math]. Naravno, skup je gust ako nije diskretan.

Ova se definicija može intuitvno i zorno predočiti. Naime, skup će biti diskretan ako i samo ako možemo pronaći (ma kako malu) vrijednost [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] od koje će udaljenost između bilo kojih dviju točaka biti veća. U slučaju gustog skupa, dvije točke mogu biti proizvoljno "blizu" pa takav [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] ne postoji, odnosno za bilo koji [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] možemo pronaći točke [math]\displaystyle{ x, y }[/math] za koje je [math]\displaystyle{ d(x, y) \leq \delta }[/math].