Asocijativna algebra

Asocijativna algebra je jedna od najčešće korištenih algebarskih struktura u matematici.

Neka je $k$ komutativni prsten s jedinicom. Pod neasocijativnom $k$-algebrom podrazumijevamo par $(A,m)$ u kojem je $A$ modul nad $k$ i $m:A\times A\to A$ bilinearno preslikavanjem, kojeg zovemo množenjem algebre $(A,m)$. Ta algebra je asocijativna ako je $m$ asocijativna operacija u običnom smislu, odnosno $m(m(a,b),c)=m(a,m(b,c))$ vrijedi za sve $a,b,c\in A$. Neke druge važne klase neasocijativnih algebri su Liejeve algebre, Jordanove algebre, Leibnizove algebre. Asocijativna $k$-algebra je unitalna (ili: s jedinicom) ako postoji element $1_{A}\in A$ takav da je $m(1_{A},a)=a=m(a,1_{A})$. Tada je automatski $A$ prsten s jedinicom.

Ako su $M,N$ dva $k$-modula, tada ih možemo promatrati kao centralne bimodule, pa je njihov tenzorski umnožak $M\otimes _{k}N$ ponovno takav, dakle $k$-modul. Kategorija $k$-modula ima strukturu (simetrične) monoidalne kategorije s tim tenzorskim umnoškom kao monoidalnim i gdje je $k$ jedinični objekt. Poseban je slučaj tenzorskog umnoška kad je $A=M=N$. Tada je bilinearnost množenja $m:A\times A\to A$ ekvivalentna uvjetu da se taj umnožak faktorizira kroz tenzorski umnožak, tj. postoji morfizam $k$-modula $m':A\otimes _{k}A\to A$ takav da je $m=m'\circ \pi$ gdje je $\pi :M\times N\to M\otimes _{k}N$ kanonska projekcija (koja je dio definicije tenzorskog umnoška). Slično u unitalnom slučaju, element $1_{A}$ definira preslikavanje $\eta :k\to A,\eta :\lambda \mapsto \lambda \cdot 1_{A}$. Nije teško vidjeti da je $(A,m,1_{A})$ unitalna asocijativna algebra onda i samo onda ako je $(A,m',\eta )$ monoid u monoidalnoj kategoriji $k$-modula. Drugim riječima, $m:A\otimes A\to A$ i $\eta :k\to A$ zadovoljavaju svojstva $m\circ (m\otimes _{k}id_{A})=m\circ (id_{A}\otimes _{k}m)$ i $m\circ (\eta \otimes _{k}id_{A})\cong id_{A}\cong m\circ (id_{A}\otimes _{k}\eta )$ gdje $\cong$ označava primjenu kanonskih izomorfizama $k\otimes _{k}A\cong A\cong A\otimes _{k}k$ kao identifikacija.

Ako je $k$ komutativni prsten s jedinicom tada unitalnu asocijativnu $k$-algebrom možemo alternativno gledati i kao prsten $A$ s jedinicom zajedno s homomorfizmom prstena $k\to A$ čija slika je u centru algebre $A$.

Morfizam (ne)asocijativnih $k$-algebri $f:(A,m_{A})\to (B,m_{B})$ je morfizam $f:A\to B$ pripadnih $k$-modula koji zadovoljava jednakost $f\otimes _{k}m_{A}=m_{B}\circ (f\otimes _{k}f)$ i, u slučaju, unitalnih algebri $f\circ \eta _{A}=\eta _{B}$.

Važan primjer asocijativne algebre je tenzorska algebra $T(V)=\oplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes _{k}n}$ gdje je $V^{\otimes _{k}n}=V\otimes _{k}V\otimes _{k}\ldots \otimes _{k}V$($k$ puta) $k$-struki tenzorski umnožak $k$-modula $V$ sa samim sobom (u slučaju $n=0$ to je $k$), a umnožak je spajanje (konkatenacija) tenzorskih umnožaka, to jest jedinstveno bilinearno proširenje formule koja je na dekompozabilnim elementima dana sa $(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \ldots \otimes v_{r},w_{1}\otimes w_{2}\otimes \ldots \otimes w_{s})\mapsto v_{1}\otimes v_{2}\otimes \ldots \otimes v_{r}\otimes w_{1}\otimes w_{2}\otimes \ldots \otimes w_{s}.$ Općenitije, ako je $A$ asocijativna algebra, možemo na sličan način uvesti i tenzorsku algebru $T({}_{A}M_{A})$ ma kojeg $A$-bimodula ${}_{A}M_{A}$. U posebnom slučaju, kad je ${}_{A}M_{A}={}_{A}A_{A}$ ona je opremljena kanonskim morfizmom (zapravo ulaganjem) algebri $A\hookrightarrow T({}_{A}A_{A})$.

• https://ncatlab.org/nlab/show/associative+unital+algebra