Predsnop

Predsnop skupova na topološkom prostoru [math]\displaystyle{ X }[/math] je kontravarijantni funktor [math]\displaystyle{ P:Otv_X^\circ\to X }[/math] iz kategorije [math]\displaystyle{ Otv_X }[/math] kojoj su objekti otvoreni podskupovi od [math]\displaystyle{ X }[/math], a morfizmi inkluzije, u kategoriju skupova [math]\displaystyle{ Set }[/math].

Ponekad gledamo i predsnopove objekata u nekoj drugoj kategoriji. Npr. predsnop grupa na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz [math]\displaystyle{ Otv_X }[/math] u kategoriju [math]\displaystyle{ Grp }[/math] grupa i homomorfizama grupa.

Ako kažemo predsnop na topološkom prostoru bez da kažemo predsnop čega, obično podrazumijevamo predsnop skupova.

Još općenitije, predsnopove možemo gledati na ma kojoj kategoriji [math]\displaystyle{ C }[/math], umjesto kategorije [math]\displaystyle{ Otv_X }[/math]. Tako su predsnopovi skupova na kategoriji [math]\displaystyle{ C }[/math] funktori [math]\displaystyle{ C^{\circ}\to Set }[/math].

Neka je [math]\displaystyle{ X\in Ob(C) }[/math]. Tada je hom-funktor u prvom argumentu predsnop [math]\displaystyle{ h_X = Hom(-,X):C^\circ\to Set }[/math] zadan pravilom [math]\displaystyle{ Ob(C)\ni Y\mapsto Hom(Y,X)\in Ob(Set) }[/math] i [math]\displaystyle{ (Mor(C)\ni f:Y\to Z)\mapsto (Hom(f,X):Hom(Z,X)\to Hom(Y,X), g\mapsto g\circ f) }[/math]. Takav predsnop nazivamo reprezentabilnim predsnopom, a tako nazivamo i svaki predsnop za koji postoji i odabran je izomorfizam s funktorom tipa [math]\displaystyle{ h_X }[/math].

Za danu malu kategoriju [math]\displaystyle{ C }[/math] definiramo kategoriju [math]\displaystyle{ \hat{C} }[/math] predsnopova skupova na [math]\displaystyle{ C }[/math] ovako. Objekti su predsnopovi skupova, a morfizmi su prirodne transformacije funktora. Tada je korespodencija [math]\displaystyle{ Ob(C)\ni X\mapsto h_X := Hom(-,X):C^\circ\to Set, \,\,\,Mor(C)\ni f\mapsto (Hom(-,f):g\mapsto f\circ g) }[/math] kovarijantni funktor [math]\displaystyle{ h : C\to\hat{C}, X\mapsto h_X }[/math] koji zovemo Yonedino ulaganje. Yonedina lema u svom slabijem iskazu kaže da je taj funktor pun i vjeran (drugim riječima, ulaganje kategorija). Kako kategorija predsnopova skupova ima jako dobra svojstva (na primjer, dopušta kolimese i limese svih malih dijagrama) to ulaganje je jako korisno u matematici.

Korisno je da kategorija [math]\displaystyle{ C }[/math] ima dodatnu strukturu Grothendieckove topologije na sebi koja omogućava da se izdvoje oni predsnopovi koji zadovoljavaju izvjesna svojstva ljepljenja u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Takve predsnopove zovemo snopovima u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Snopovi su jedan od central pojmova u modernoj matematici.

Univerzalno svojstvo

Konstrukciju [math]\displaystyle{ C \mapsto \hat{C} = \mathbf{Fct}(C^{\text{op}}, \mathbf{Set}) }[/math] zovemo upotpunjenje kolimesima kategorije [math]\displaystyle{ C }[/math] jer vrijedi slijedeće univerzalno svojstvo:

Teorem (Proposition 2.7.1 u ) Neka su [math]\displaystyle{ C, D }[/math] kategorije pri čemu D dopušta kolimese malih dijagrama. Tada se svaki funktor [math]\displaystyle{ \eta: C \to D }[/math] razlaže na jedinstven način u kompoziciju [math]\displaystyle{ C \overset{h}\longrightarrow \hat{C} \overset{\widetilde{\eta}}\longrightarrow D }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ h }[/math] Yonedino ulaganje i [math]\displaystyle{ \widetilde{\eta}: \hat{C} \to D }[/math] je funktor koji čuva kolimese i kojeg zovemo Yonedino proširenje funktora [math]\displaystyle{ \eta }[/math].

Literatura

• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag 1994.