Vivianijev teorem

Zbroj udaljenosti točke T od stranica jednakostraničnog trokuta ABC jednak je duljini visine tog trokuta, tj. vrijedi $|TT_{a}|+|TT_{b}|+|TT_{c}|=v.$

Vivianijev teorem je rezultat u euklidskoj geometriji kojega je početkom 18. stoljeća dokazao talijanski matematičar Vincenzo Viviani.

Teorem tvrdi da je za bilo koju izabranu točku $T$ unutar jednakostraničnog trokuta $ABC$ zbroj udaljenosti točke $T$ od stranica $a,b,c$ trokuta $ABC$ jednak visini tog trokuta.

Dokaz preko površina

Neka su $T_{a},T_{b}$ i $T_{c}$ nožišta okomica iz točke $T$ na stranice $BC,CA$ i $AB$ trokuta $ABC$, a $v$ visina trokuta $ABC$. Prikažimo površinu trokuta $ABC$ pomoću zbroja površina tri trokuta $P_{\triangle ABC}=P_{\triangle TBC}+P_{\triangle TCA}+P_{\triangle TAB}$.

${\frac {av}{2}}={\frac {a\cdot |TT_{a}|}{2}}+{\frac {a\cdot |TT_{b}|}{2}}+{\frac {a\cdot |TT_{c}|}{2}}.$

Odovuda slijedi $|TT_{a}|+|TT_{b}|+|TT_{c}|=v.$

Zanimljivosti

Zanimljivo je da se Vivianijev teorem može poopćiti i na pravilne mnogokute.

Naime, vrijedi da je zbroj udaljenosti bilo koje točke $T$ pravilnog n-terokuta do njegovih stranica neovisan o položaju točke $T$.

Dokaz. Ako su stranice pravilnog n-terokuta duljine $a$, a udaljenosti od točke $T$ do stranica tog n-terokuta $v_{1},v_{2},...,v_{n}$, tada je površina poligona jednaka $P={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}av_{i}$, dakle vrijedi $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}={\frac {2P}{a}}.$

Može se dokazati da generalizacija Vivianijeva teorema vrijedi i za poligone kojima su svi unutarnji kutovi sukladni, tj. za tzv. ekviangularne poligone.

Poopćenje Vivianijeva teorema na pravilne mnogokute