Asocijativna algebra
Asocijativna algebra je jedna od najčešće korištenih algebarskih struktura u matematici.
Neka je [math]\displaystyle{ k }[/math] komutativni prsten s jedinicom. Pod neasocijativnom [math]\displaystyle{ k }[/math]-algebrom podrazumijevamo par [math]\displaystyle{ (A,m) }[/math] u kojem je [math]\displaystyle{ A }[/math] modul nad [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ m:A\times A\to A }[/math] bilinearno preslikavanjem, kojeg zovemo množenjem algebre [math]\displaystyle{ (A,m) }[/math]. Ta algebra je asocijativna ako je [math]\displaystyle{ m }[/math] asocijativna operacija u običnom smislu, odnosno [math]\displaystyle{ m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c)) }[/math] vrijedi za sve [math]\displaystyle{ a,b,c\in A }[/math]. Neke druge važne klase neasocijativnih algebri su Liejeve algebre, Jordanove algebre, Leibnizove algebre. Asocijativna [math]\displaystyle{ k }[/math]-algebra je unitalna (ili: s jedinicom) ako postoji element [math]\displaystyle{ 1_A\in A }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ m(1_A,a) = a = m(a,1_A) }[/math]. Tada je automatski [math]\displaystyle{ A }[/math] prsten s jedinicom.
Ako su [math]\displaystyle{ M,N }[/math] dva [math]\displaystyle{ k }[/math]-modula, tada ih možemo promatrati kao centralne bimodule, pa je njihov tenzorski umnožak [math]\displaystyle{ M\otimes_k N }[/math] ponovno takav, dakle [math]\displaystyle{ k }[/math]-modul. Kategorija [math]\displaystyle{ k }[/math]-modula ima strukturu (simetrične) monoidalne kategorije s tim tenzorskim umnoškom kao monoidalnim i gdje je [math]\displaystyle{ k }[/math] jedinični objekt. Poseban je slučaj tenzorskog umnoška kad je [math]\displaystyle{ A=M=N }[/math]. Tada je bilinearnost množenja [math]\displaystyle{ m:A\times A\to A }[/math] ekvivalentna uvjetu da se taj umnožak faktorizira kroz tenzorski umnožak, tj. postoji morfizam [math]\displaystyle{ k }[/math]-modula [math]\displaystyle{ m':A\otimes_k A\to A }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ m = m'\circ \pi }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ \pi:M\times N\to M\otimes_k N }[/math] kanonska projekcija (koja je dio definicije tenzorskog umnoška). Slično u unitalnom slučaju, element [math]\displaystyle{ 1_A }[/math] definira preslikavanje [math]\displaystyle{ \eta : k\to A, \eta: \lambda\mapsto \lambda\cdot 1_A }[/math]. Nije teško vidjeti da je [math]\displaystyle{ (A,m,1_A) }[/math] unitalna asocijativna algebra onda i samo onda ako je [math]\displaystyle{ (A,m',\eta) }[/math] monoid u monoidalnoj kategoriji [math]\displaystyle{ k }[/math]-modula. Drugim riječima, [math]\displaystyle{ m:A\otimes A\to A }[/math] i [math]\displaystyle{ \eta:k\to A }[/math] zadovoljavaju svojstva [math]\displaystyle{ m\circ (m\otimes_k id_A) = m\circ (id_A\otimes_k m) }[/math] i [math]\displaystyle{ m\circ(\eta\otimes_k id_A) \cong id_A \cong m\circ(id_A\otimes_k\eta) }[/math] gdje [math]\displaystyle{ \cong }[/math] označava primjenu kanonskih izomorfizama [math]\displaystyle{ k\otimes_k A\cong A\cong A\otimes_k k }[/math] kao identifikacija.
Ako je [math]\displaystyle{ k }[/math] komutativni prsten s jedinicom tada unitalnu asocijativnu [math]\displaystyle{ k }[/math]-algebrom možemo alternativno gledati i kao prsten [math]\displaystyle{ A }[/math] s jedinicom zajedno s homomorfizmom prstena [math]\displaystyle{ k\to A }[/math] čija slika je u centru algebre [math]\displaystyle{ A }[/math].
Morfizam (ne)asocijativnih [math]\displaystyle{ k }[/math]-algebri [math]\displaystyle{ f:(A,m_A)\to(B,m_B) }[/math] je morfizam [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] pripadnih [math]\displaystyle{ k }[/math]-modula koji zadovoljava jednakost [math]\displaystyle{ f\otimes_k m_A = m_B\circ (f\otimes_k f) }[/math] i, u slučaju, unitalnih algebri [math]\displaystyle{ f\circ\eta_A = \eta_B }[/math].
Važan primjer asocijativne algebre je tenzorska algebra [math]\displaystyle{ T(V) = \oplus_{n = 0}^\infty V^{\otimes_k n} }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ V^{\otimes_k n} = V\otimes_k V\otimes_k\ldots \otimes_k V }[/math]([math]\displaystyle{ k }[/math] puta) [math]\displaystyle{ k }[/math]-struki tenzorski umnožak [math]\displaystyle{ k }[/math]-modula [math]\displaystyle{ V }[/math] sa samim sobom (u slučaju [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] to je [math]\displaystyle{ k }[/math]), a umnožak je spajanje (konkatenacija) tenzorskih umnožaka, to jest jedinstveno bilinearno proširenje formule koja je na dekompozabilnim elementima dana sa [math]\displaystyle{ (v_1\otimes v_2\otimes \ldots\otimes v_r, w_1\otimes w_2\otimes\ldots\otimes w_s) \mapsto v_1\otimes v_2\otimes \ldots\otimes v_r\otimes w_1\otimes w_2\otimes\ldots\otimes w_s. }[/math] Općenitije, ako je [math]\displaystyle{ A }[/math] asocijativna algebra, možemo na sličan način uvesti i tenzorsku algebru [math]\displaystyle{ T({}_A M_A) }[/math] ma kojeg [math]\displaystyle{ A }[/math]-bimodula [math]\displaystyle{ {}_A M_A }[/math]. U posebnom slučaju, kad je [math]\displaystyle{ {}_A M_A = {}_A A_A }[/math] ona je opremljena kanonskim morfizmom (zapravo ulaganjem) algebri [math]\displaystyle{ A\hookrightarrow T({}_A A_A) }[/math].