U geometriji , lema o trozupcu [1] rus. лемма о трезубце [2]
Datoteka:Trillium theorem.svg Lema o trozupcu Teorem Neka je ABC trokut. Neka je I središte trokutu upisane kružnice. Neka je D sjecište BI (simetrala kuta ∠ABC ) i opisane kružnice trokuta ABC. Lema o trozupcu kaže da je
D
A
¯
=
D
C
¯
=
D
I
¯
=
D
E
¯
{\displaystyle {\overline {DA}}={\overline {DC}}={\overline {DI}}={\overline {DE}}}
gdje je E središte trokutu pripisane kružnice koja dira AB, BC i AC .[3] [4]
Dokaz Kutevi nad istom tetivom:
|
∠
A
B
I
|
=
|
∠
D
C
A
|
,
|
∠
C
B
I
|
=
|
∠
D
A
C
|
.
{\displaystyle |\angle ABI|=|\angle DCA|,\quad |\angle CBI|=|\angle DAC|.}
Pošto je BI simetrala kuta:
|
∠
D
C
A
|
=
|
∠
D
A
C
|
⇒
|
A
D
|
=
|
C
D
|
,
te
|
∠
D
I
A
|
=
180
∘
−
|
∠
A
I
B
|
=
180
∘
−
(
180
∘
−
|
∠
I
A
B
|
−
|
∠
I
B
A
|
)
=
|
∠
I
A
B
|
+
|
∠
I
B
A
|
=
|
∠
I
A
C
|
+
|
∠
C
A
D
|
=
|
∠
I
A
D
|
⇒
|
A
D
|
=
|
D
I
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&|\angle DCA|=|\angle DAC|\\[6pt]\Rightarrow {}&|AD|=|CD|,{\text{ te }}|\angle DIA|=180^{\circ }-|\angle AIB|\\[6pt]={}&180^{\circ }-(180^{\circ }-|\angle IAB|-|\angle IBA|)\\[6pt]={}&|\angle IAB|+|\angle IBA|=|\angle IAC|+|\angle CAD|\\[6pt]={}&|\angle IAD|\\[6pt]\Rightarrow {}&|AD|=|DI|.\end{aligned}}}
Dokažimo još da je DI = DE
|
∠
I
A
E
|
=
|
∠
I
A
C
|
+
|
∠
C
A
E
|
=
1
2
|
∠
B
A
C
|
+
1
2
(
180
∘
−
|
∠
B
A
C
|
)
=
180
∘
2
=
90
∘
{\displaystyle |\angle IAE|=|\angle IAC|+|\angle CAE|={\frac {1}{2}}|\angle BAC|+{\frac {1}{2}}(180^{\circ }-|\angle BAC|)={\frac {180^{\circ }}{2}}=90^{\circ }}
pa je ΔIAE pravokutan. Točka D je jedinstvena koja zadovoljava DA = DI DI = DE
Izvori
↑ • Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
↑
Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. http://www.rkarasev.ru/common/upload/taskprob.pdf .
↑ • Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
.
↑ • Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&|\angle DCA|=|\angle DAC|\\[6pt]\Rightarrow {}&|AD|=|CD|,{\text{ te }}|\angle DIA|=180^{\circ }-|\angle AIB|\\[6pt]={}&180^{\circ }-(180^{\circ }-|\angle IAB|-|\angle IBA|)\\[6pt]={}&|\angle IAB|+|\angle IBA|=|\angle IAC|+|\angle CAD|\\[6pt]={}&|\angle IAD|\\[6pt]\Rightarrow {}&|AD|=|DI|.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44c2d95813fbd9dbdede3a926d4d294aff159ff)
