Logički operatori u matematici
Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija
Simbol
|
Name | Objašnjenje | Primjeri | Unicode Value |
HTML Entity |
LaTeX simbol |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Čita se kao | ||||||
| Kategorija | ||||||
⇒
→ ⊃ |
materijalna implikacija | A ⇒ B znači da ako je A istinit, tada je B također istinit; ako je A neistinit, tada o B nije ništa rečeno. → bi moglo značiti isto kao ⇒ (simbol može implicirati domenu i kodomenu od funkcije; vidi tablicu matematičkih simbola). ⊃ bi moglo značiti isto kao ⇒ (simbol bi mogao značiti i superset). |
x = 2 ⇒ x2 = 4 je istinit, ali x2 = 4 ⇒ x = 2 je u pravilo krivo (jer x može biti −2). | U+21D2 U+2192 U+2283 |
⇒ → ⊃ |
[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]\Rightarrow
[math]\displaystyle{ \to }[/math]\to [math]\displaystyle{ \supset }[/math]\supset |
| implicira; ako ... tada je | ||||||
| propozicijska logika, Heyting algebra | ||||||
⇔
≡ ↔ |
materijalna ekvivalencija | A ⇔ B znači de je A istinit ako i samo ako je B istinit. | x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y | U+21D4 U+2261 U+2194 |
⇔ ≡ ↔ |
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]\Leftrightarrow
[math]\displaystyle{ \equiv }[/math]\equiv [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]\leftrightarrow |
| ako i samo ako; iff | ||||||
| propozicijska logika | ||||||
¬
˜ ! |
negacija | Izraz ¬A je istinit ako i samo ako je A neistinit. Kosa crta smještena kroz drugi operator je isto kao i "¬" smješten od ispred. |
¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y) |
U+00AC U+02DC |
≠ ˜ ~ |
[math]\displaystyle{ \neg }[/math]\lnot or \neg
[math]\displaystyle{ \sim }[/math]\sim |
| ne | ||||||
| propozicijska logika | ||||||
∧
• & |
logička konjunkcija | Izraz A ∧ B je istinit ako su i A i B istiniti; uostalom su neistiniti. | n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3 kada je n prirodni broj. | U+2227 U+0026 |
∧ & |
[math]\displaystyle{ \wedge }[/math]\wedge or \land \&[1] |
| i | ||||||
| propozicijska logika | ||||||
∨
+ ǀǀ |
logička disjunkcija | Izraz A ∨ B je istinit ako A ili B (ili oboje) su istiniti; ako su oboje neistiniti, izraz je neistinit. | n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 kada je n prirodni broj. | U+2228 | ∨ | [math]\displaystyle{ \lor }[/math]\lor or \vee |
| ili | ||||||
| propozicijska logika | ||||||
⊕ ⊻ |
izostavna disjunkcija | Izraz A ⊕ B je istinit kada su bilo A ili B, ali ne oboje, istiniti. A ⊻ B znači isto. | (¬A) ⊕ A je uvijek istinito, A ⊕ A je uvijek neistinito. | U+2295 U+22BB |
⊕ | [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]\oplus [math]\displaystyle{ \veebar }[/math]\veebar |
| xor | ||||||
| propozicijska logika, Istina/neistina algebra | ||||||
⊤ T 1 |
Tautologija | Izraz ⊤ je bezuvjetno istinit. | A ⇒ ⊤ je uvijek istinit. | U+22A4 | T | [math]\displaystyle{ \top }[/math]\top |
| vrh | ||||||
| propozicijska logika, Boolean algebra | ||||||
⊥ F 0 |
Kontradikcija | Izraz ⊥ je bezuvjetno neistinit. | ⊥ ⇒ A je uvijek istinit. | U+22A5 | ⊥ F |
[math]\displaystyle{ \bot }[/math]\bot |
| dno | ||||||
| propozicijska logika, Boolean algebra | ||||||
∀
|
univerzalna kvantifikacija | ∀ x: P(x) znači da je P(x) istinit za sve x. | ∀ n ∈ N: n2 ≥ n. | U+2200 | ∀ | [math]\displaystyle{ \forall }[/math]\forall |
| za sve; za bilo što; za svaki | ||||||
| predikatna logika | ||||||
∃
|
egzistencijalna kvantifikacija | ∃ x: P(x) znači da postoji barem jedan x takav da je P(x) istinit. | ∃ n ∈ N: n je paran. | U+2203 | ∃ | [math]\displaystyle{ \exists }[/math]\exists |
| postoji | ||||||
| prvoredna logika | ||||||
∃!
|
kvantifikacija po posebnosti | ∃! x: P(x) znači da postoji točno jedan x takav da je P(x) istinit. | ∃! n ∈ N: n + 5 = 2n. | U+2203 U+0021 | ∃ ! | [math]\displaystyle{ \exists ! }[/math]\exists ! |
| postoji točno jedan | ||||||
| prvoredna logika | ||||||
:=
≡ :⇔ |
definicija | x := y or x ≡ y znači da je x definirano kao drugo ime za y (pazite: ≡ može značiti i još nešto, poput kongruencije). P :⇔ Q znači da je P logički ekvivalent Q. |
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) |
U+2254 (U+003A U+003D) U+2261 U+003A U+229C |
:= : ≡ ⇔ |
[math]\displaystyle{ := }[/math]:=
[math]\displaystyle{ \equiv }[/math]\equiv [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]\Leftrightarrow |
| definirano kao | ||||||
| svugdje | ||||||
( )
|
Precedentno grupiranje | Izvodi prvo operacije unutar zagrada. | (8/4)/2 = 2/2 = 1, ali je 8/(4/2) = 8/2 = 4. | U+0028 U+0029 | ( ) | [math]\displaystyle{ (~) }[/math] ( ) |
| svugdje | ||||||
⊢
|
okretno | x ⊢ y znači da je y dokazivo iz x (u nekon određenom formalnom sistemu). | A → B ⊢ ¬B → ¬A | U+22A6 | &⊢ | [math]\displaystyle{ \vdash }[/math]\vdash |
| dokazivo | ||||||
| propozicijska logika, prvoredna logika | ||||||
⊨
|
dvostruki smjer | x ⊨ y znači da x semantično upotpunjuje y | A → B ⊨ ¬B → ¬A | U+22A7 | ⊨ | [math]\displaystyle{ \models }[/math]\models |
| upotpunjuje | ||||||
| propozicijska logika, prvoredna logika | ||||||
≌
|
sukladno | |AB| ≌ |CD| | A → B ≌ ¬B → ¬A | U+22A7 | () | [math]\displaystyle{ \models }[/math]\models |
| nejednako | ||||||
| dokazivo | ||||||
≠
|
nejednako | |AB| ≠ |CD| | A → B ≠ ¬B → ¬A | U+22A7 | () | [math]\displaystyle{ \models }[/math]\models |
| zaokruženo na | ||||||
| dokazivo | ||||||
≈
|
zaokruženo na | 4.59 ≈ 5 | A → B ≈ ¬B → ¬A | U+22A7 | () | [math]\displaystyle{ \models }[/math]\models |