Kvadratna nejednadžba

Pod kvadratnom nejednadžbom podrazumijevamo nejednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2.

Kvadratna nejednadžba

Kvadratna nejednadžba gdje je $b=0$

Kvadratnu nejednadžbu gdje je b = 0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

$ax^{2}+c>0\,$

iz čega slijedi da je:

$x^{2}>-{\frac {c}{a}}\,$

Ako su oba člana a i c pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ako je točno jedan od članova negativan (odnosno pozitivan), nejednadžba će imati kao rješenje skup svih vrijednosti x iz intervala: $\left\langle +{\sqrt {\frac {c}{a}}},+\infty \right\rangle$ i $\left\langle -\infty ,-{\sqrt {\frac {c}{a}}}\right\rangle$,

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

$2x^{2}-8>0\,$ .

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

$2x^{2}>8\,$

$x^{2}>4\,$

$|x|>2\,$,

gdje se skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala $\left\langle +2,+\infty \right\rangle$ i $\left\langle -\infty ,-2\right\rangle$,

Kvadratna nejednadžba gdje je c=0

Kvadratnu nejednadžbu gdje je c=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

$ax^{2}+bx>0\,$

što se može prikazati i kao:

$x(ax+b)>0\,$.

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

$a)\,$$x>0\,$ i $(ax+b)>0\,$ te

$b)\,$$x<0\,$ i $(ax+b)<0\,$

odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

$x(3x+12)<0\,$.

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

$a)\,$$x<0\,$ i $(3x+12)>0\,$ i

$b)\,$$x>0\,$ i $(3x+12)<0\,$

gdje iz a) slijedi da mora biti x<0 i x>-4, te iz b) slijedi da mora biti x>0 i x<-4 Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti x za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti x nalazi unutar intervala:

$\left\langle -4,0\right\rangle$.

Kvadratna nejednadžba sa svim članovima

Kvadratnu nejednadžbu sa svim članovima, oblika:

$ax^{2}+bx+c\leq 0\,$ ili

$ax^{2}+bx+c\geq 0\,$

najlakše je riješiti na način da se nađe rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

da se odredi graf funkcije:

$y=ax^{2}+bx+c\,$

te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti x je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.

Primjer:

$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

Neka je zadana nejednadžba:

$x^{2}-x-2\leq 0\,$.

U cilju nalaženja svih vrijednosti x koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:

$x^{2}-x-2=0\,$

gdje su rješenja:

$x_{1}=2,x_{2}=-1\,$.

Razmatrajući funkciju (slika desno):

$y=x^{2}-x-2\,$,

zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke $(2,0)$ i $(-1,0)$ grafa funkcije . Za sve vrijednosti x za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:

$x^{2}-x-2\leq 0\,$

Sve vrijednosti x iz intervala: $\left\lbrack -1,+2\right\rbrack$ bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe. Kvadratna nejednadžba samo je poseban slučaj polinomne nejednadžbe n-tog reda za n=2, gdje se takva nejednadžba općenito može riješiti ako se mogu naći ishodišta odgovarajuće polinomne funkcije.

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.