Kvadratna nejednadžba
Pod kvadratnom nejednadžbom podrazumijevamo nejednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2.
Kvadratna nejednadžba
Kvadratna nejednadžba gdje je [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math]
Kvadratnu nejednadžbu gdje je b = 0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:
- [math]\displaystyle{ ax^2 + c \gt 0 \, }[/math]
iz čega slijedi da je:
- [math]\displaystyle{ x^2 \gt -\frac{c}{a} \, }[/math]
Ako su oba člana a i c pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ako je točno jedan od članova negativan (odnosno pozitivan), nejednadžba će imati kao rješenje skup svih vrijednosti x iz intervala: [math]\displaystyle{ \left\langle +\sqrt{ \frac{c}{a}}, +\infty \right\rangle }[/math] i [math]\displaystyle{ \left\langle -\infty, -\sqrt{ \frac{c}{a}} \right\rangle }[/math],
Primjer:
Neka je zadana nejednadžba:
- [math]\displaystyle{ 2x^2 -8 \gt 0 \, }[/math] .
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
- [math]\displaystyle{ 2x^2 \gt 8 \, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 \gt 4 \, }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x| \gt 2 \, }[/math],
gdje se skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala [math]\displaystyle{ \left\langle +2, +\infty \right\rangle }[/math] i [math]\displaystyle{ \left\langle -\infty, -2 \right\rangle }[/math],
Kvadratna nejednadžba gdje je c=0
Kvadratnu nejednadžbu gdje je c=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:
- [math]\displaystyle{ ax^2 + bx \gt 0 \, }[/math]
što se može prikazati i kao:
- [math]\displaystyle{ x(ax+b) \gt 0 \, }[/math].
Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:
- [math]\displaystyle{ a) \, }[/math][math]\displaystyle{ x \gt 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ (ax+b) \gt 0 \, }[/math] te
- [math]\displaystyle{ b) \, }[/math][math]\displaystyle{ x \lt 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ (ax+b) \lt 0 \, }[/math]
odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.
Primjer:
Neka je zadana nejednadžba:
- [math]\displaystyle{ x(3x+12) \lt 0 \, }[/math].
Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:
- [math]\displaystyle{ a) \, }[/math][math]\displaystyle{ x \lt 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ (3x+12) \gt 0 \, }[/math] i
- [math]\displaystyle{ b) \, }[/math][math]\displaystyle{ x \gt 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ (3x+12) \lt 0 \, }[/math]
gdje iz a) slijedi da mora biti x<0 i x>-4, te iz b) slijedi da mora biti x>0 i x<-4 Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti x za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti x nalazi unutar intervala:
- [math]\displaystyle{ \left\langle-4, 0 \right\rangle }[/math].
Kvadratna nejednadžba sa svim članovima
Kvadratnu nejednadžbu sa svim članovima, oblika:
- [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c \le 0 \, }[/math] ili
- [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c \ge 0 \, }[/math]
najlakše je riješiti na način da se nađe rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:
- [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 \, }[/math]
da se odredi graf funkcije:
- [math]\displaystyle{ y= ax^2 + bx + c \, }[/math]
te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti x je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.
Primjer:
Neka je zadana nejednadžba:
- [math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 \le 0 \, }[/math].
U cilju nalaženja svih vrijednosti x koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:
- [math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 = 0 \, }[/math]
gdje su rješenja:
- [math]\displaystyle{ x_1=2, x_2=-1 \, }[/math].
Razmatrajući funkciju (slika desno):
- [math]\displaystyle{ y=x^2 - x - 2 \, }[/math],
zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke [math]\displaystyle{ (2, 0) }[/math] i [math]\displaystyle{ (-1, 0) }[/math] grafa funkcije . Za sve vrijednosti x za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:
- [math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 \le 0 \, }[/math]
Sve vrijednosti x iz intervala: [math]\displaystyle{ \left\lbrack -1, +2 \right\rbrack }[/math] bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe. Kvadratna nejednadžba samo je poseban slučaj polinomne nejednadžbe n-tog reda za n=2, gdje se takva nejednadžba općenito može riješiti ako se mogu naći ishodišta odgovarajuće polinomne funkcije.
Literatura
- Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.