Nejednadžba

Nejednadžba je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.

Znak nejednakosti prvi je počeo koristiti engleski matematičar Thomas Harriot (1560. – 2. srpnja 1621.).

Nejednadžba simbolom za uređaj > ili < iskazuje da lijeva strana nejednadžbe mora biti veća ili manja od desne strane nejednadžbe. Pri rješavanju nejednadžbe traži se interval skupa svih vrijednosti x koji udovoljavaju nejednadžbi. Nejednadžba može biti izražena i sa [math]\displaystyle{ \le }[/math] ili [math]\displaystyle{ \ge }[/math].

Zamjenom znaka „=“ znakom „>“ pretvara se jednadžba

[math]\displaystyle{ 2x-4 = 6 \, }[/math]

u nejednadžbu

[math]\displaystyle{ 2x-4 \gt 6 \, }[/math].

Za razliku od rješenja jednadžbe, x = 5, rješenje nejednadžbe će očito biti

[math]\displaystyle{ x \gt 5 \, }[/math],

Skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi sadržavati će sve realne brojeve od 5 do [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] gdje sam broj 5 nije uključen u rješenje nejednadžbe. Da je nejednadžba bila zadana kao

[math]\displaystyle{ 2x-4 \ge 10 \, }[/math]

tada bi skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi uključivao i broj 5.

Pravila rješavanja nejednadžbi

Pravila koje se odnose na postupak rješavanja jednadžbi, vrijede s nekim ograničenjima i za rješavanje nejednadžbi:

1/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijevoj i desnoj strani nejednadžbe smije se dodati i oduzeti isti broj.

2/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijeva i desna strana nejednadžbe smiju se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem (različitim od nule).

3/ U postupku rješavanja nejednadžbe veličine i nepoznate veličine smiju se premiještati s jedne strane nejednadžbe na drugu uz promjenu predznaka

te nešto specifično za nejednadžbu

4/ Množenjem cijele nejednadžbe s -1, svi članovi nejednadžbe mijenjaju predznak uz istovremenu promjenu znaka nejednakosti “<” u “>”, odn. “>” u “<”. Primjer:

[math]\displaystyle{ -x + 3 \lt 2x + 15 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ -x -2x \lt 15 - 3 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ -3x \lt 12 /(-1) \, }[/math]

[math]\displaystyle{ 3x \gt -12 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ x \gt -4 \, }[/math]

Sustav nejednadžbi s jednom nepoznanicom

Sustav od više nejednadžbi postavit će, u pravilu, više različitih uvjeta za skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi. Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom bit će skup svih realnih brojeva x koji istovremeno zadovoljavaju sve nejednadžbe. Primjer:

[math]\displaystyle{ x + 6 \gt 0 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ -x-1 \lt 2 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ x - 1 \gt 1 \, }[/math]

Za sustav od tri nejednadžbe s jednom nepoznanicom traži se skup takvih vrijednosti x rješenja nejednadžbi koji će udovoljavati svakoj od datih nejednadžbi, gdje je:

rješenje prve nejednadžbe: x > -6, odn. interval [math]\displaystyle{ \left\langle-6, +\infty \right\rangle }[/math],

rješenje druge nejednadžbe: x > -3, odn. interval [math]\displaystyle{ \left\langle-3, +\infty \right\rangle }[/math],

rješenje treće nejednadžbe: x > 2, odn. interval [math]\displaystyle{ \left\langle2, +\infty \right\rangle }[/math].

Rješenje sustava nejednadžbi je, dakle, x > 2 jer interval vrijednosti x [math]\displaystyle{ \left\langle2, +\infty \right\rangle }[/math] udovoljava za sve tri postavljene nejednadžbe.

Nejednadžbe složenijih oblika

Nejednadžba kao produkt binomnih članova

Nejednadžbe mogu biti zadane u obliku produkta dva (ili više) binomnih članova. U tom slučaju svaki od članova postavlja neke određene uvjete kojima mora udovoljiti skup vrijednost x rješenja nejednadžbi. Primjer:

[math]\displaystyle{ (x+1)(x-3)\gt 0 \, }[/math]

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća od 0, što je ispunjeno u dva različita slučaja:

a)[math]\displaystyle{ (x+1)\gt 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ (x-3)\gt 0 \, }[/math]

b)[math]\displaystyle{ (x+1)\lt 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ (x-3)\lt 0 \, }[/math].

Oba slučaja mogu se shvatiti kao sustavi nejednadžbi s jednom nepoznanicom i rješavati odvojeno. Skup vrijednosti rješenja nejednadžbi mora udovoljavati kako slijedi:

[math]\displaystyle{ a) x \gt -1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ x \gt 3 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ b) x \lt -1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ x \lt 3 \, }[/math].

Kako bi skup rješenja x nejednadžbe udovoljavao uvjetu pod a) mora biti da je x > 3, a kako bi u drugom slučaju udovoljavao uvjetu pod b) mora biti da je x < -1. Skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi očito će biti unija skupova iz intervala realnih brojeva [math]\displaystyle{ \left\langle -\infty, -1\right\rangle }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\langle 3, +\infty \right\rangle }[/math].

Nejednadžba kao kvocijent binomnih članova

Nejednadžba može biti zadana i kao kvocijent dva binomnih članova, gdje se u rješavanju razmišlja na ekvivalentan način kao u prethodnom primjeru. Primjer:

[math]\displaystyle{ \frac{x^2+2}{x+2} \ge 0 }[/math]

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća ili jednaka nuli, no kako je (x² + 2) za realne x uvijek pozitivan broj, mora i djelitelj (x + 2) biti pozitivan kako bi razlomak bio veći od nule. To je ispunjeno za x> -2. Skup vrijednosti rješenja x nejednadžbe bit će interval realnih brojeva [math]\displaystyle{ \left\langle -2, +\infty \right\rangle }[/math].

Nejednadžba kao produkt i kvocijent binomnih članova

Nejednadžba može biti zadana i kao složeni izraz koji uključuje više binomnih članova u još složenijem odnosu. Primjer:

[math]\displaystyle{ \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} \gt 0 }[/math]

Izraz koji čini lijeva strana nejednadžbe možemo shvatiti i kao funkciju

[math]\displaystyle{ y = \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} }[/math].

Iz izraza koji opisuje funkciju vidljivo je da će funkcija imati nultočke u točkama: x = -1 i x = 2, a polove u točkama x = -2 i x = 3. Razvivši, nadalje, oba binomna umnoška, funkciju možemo prikazati u obliku

[math]\displaystyle{ y = \frac{-x^2+x+2}{-x^2+x+6} }[/math]

Kako je limes funkcije pozitivan kada x teži u [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] i kada teži u [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], funkcija će za dovoljno mali i za dovoljno veliki x biti očito pozitivna s odgovarajućom promjenom predznaka u polovima i nul točkama. Skicirajući tijek funkcije kako x poprima vrijednosti od [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] prema [math]\displaystyle{ +\infty }[/math],može se ustanoviti da će funkcija imati redom:

a)pozitivnu vrijednost u intervalu x od x = [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] do prvog pola u x = -2,

b)negativnu vrijednost od prvog pola x = -2 do prve nultočke x = -1,

c)pozitivnu vrijednost od prve nultočke x = -1 do druge nultočke x = 2,

d)negativnu vrijednost od druge nultočke x = 2 do drugog pola u x = 3 te opet

e)pozitivnu vrijednost od x = 3 do x = [math]\displaystyle{ +\infty }[/math].

Skup rješenja x nejednadžbe očito je iz unija intervala [math]\displaystyle{ \left\langle -\infty, -2 \right\rangle \cup }[/math] [math]\displaystyle{ \left\langle -1,2 \right\rangle \cup }[/math] [math]\displaystyle{ \left\langle 3, +\infty\right\rangle }[/math]

Ekvivalentna analiza može se provesti i za bilo koji složeniji oblik nejednadžbe prikazan na odgovarajući način.

Vidi

Literatura

Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.