Iracionalna nejednadžba
Nejednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi pod znakom korijena zovu se iracionalne nejednadžba. Premda se u širem smislu pojma iracionalne nejednadžbe nepoznata veličina može nalaziti pod znakom bilo kojeg korijena, u pravilu se pod iracionalnom nejednadžbom podrazumijeva nejednadžba gdje se nepoznata veličina nalazi pod kvadratnim korijenom i gdje je rješavanje iracionalne nejednadžbe relativno jednostavno.
Područje definicije
Iracionalna nejednadžba je definirana za ono područje nepoznate veličine x u kojem je izraz ispod korijena općenito veći ili jednak nuli, gdje je, na primjer, za član:
- [math]\displaystyle{ \sqrt{x + 4} }[/math] jednadžba definirana [math]\displaystyle{ \forall }[/math] x [math]\displaystyle{ \in }[/math] [math]\displaystyle{ \left\lbrack -4, +\infty \right\rangle }[/math]
ili za član
- [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-4} }[/math] jednadžba definirana [math]\displaystyle{ \forall }[/math] x [math]\displaystyle{ \in }[/math] [math]\displaystyle{ \left\langle -\infty, -2 \right\rbrack,\left\lbrack +2, +\infty \right\rangle }[/math]
Jednostavna iracionalna nejednadžba
Jednostavnijom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom ispod korijena kao na primjer:
- [math]\displaystyle{ \sqrt{4x -8}-2\gt 0. }[/math]
Sređivanjem i kvadriranjem obje strane jednadžbe nalazimo kako slijedi:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \sqrt{4x -8}& \gt 2 /^{(2)}\\ 4x-8& \gt 4 \\ 4x& \gt 12 \\ x &\gt 3\\ \end{align} }[/math]
gdje je rješenje iracionalne nejednadžbe svaki x iz intervala: [math]\displaystyle{ \left\langle +3, +\infty \right\rangle }[/math].
Složenija iracionalna nejednadžba
Nešto složenijom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava dva člana gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:
- [math]\displaystyle{ \sqrt{4x -2} \lt \sqrt{2x+8} }[/math]
Kvadriranjem i sređivanjem iracionalne jednadžbe nalazimo, redom:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 4x-2 & \lt 2x+8 \\ 2x & \lt 10 \\ x& \lt 5\\ \end{align} }[/math]
Rješenje iracionalne nejednadžbe je, dakle, x<5 gdje valja ispuniti i uvjet da su izrazi pod korijenima veći od nule, što će s druge strane biti ispunjeno za x>-1/2, odnosno x>-4. Rješenje date nejednadžbe biti će svaki x iz intervala: [math]\displaystyle{ \left\langle -\frac {1}{2}, +5 \right\rangle }[/math].
Složena iracionalna nejednadžba
Složenom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava tri ili više članova gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:
- [math]\displaystyle{ \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\gt \sqrt{3x+6} }[/math]
U traženju rješenja postupa se slično gornjem primjeru:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}& \gt \sqrt{3x+6} /^{(2)} \\ 2-x+2\sqrt{2-x} \sqrt{2x+2}+2x+2 & \gt 3x+6 \\ 2\sqrt{2-x} \sqrt{2x+2}& \gt 2x+2 /:(2) \\ \sqrt{2-x} \sqrt{2x+2}& \gt x+1 /^{(2)} \\ (2-x)(2x+2)&\gt x^ 2+2x+1\\ 4x+4-2x^2-2x&\gt x^2+2x+1\\ -3x^2 &\gt -3 /:(-3)\\ x^2 &\lt 1 \end{align} }[/math]
Rješenja nejednadžbe nalazit će se prema tome unutar intervala [math]\displaystyle{ \left\langle -1, +1 \right\rangle }[/math] gdje vrijednosti nepoznate veličine udovoljavaju i uvjetu da su izrazi pod korijenima veći od nule.
Literatura
- Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.