Nepotpunost aritmetike: razlika između inačica

Posljednja izmjena od 7. studeni 2025. u 00:11

Nepotpunost aritmetike dokazao je matematičar Kurt Gödel. ^[1]^:15.

U radu iz 1931. godine kojim je srušio nade Hilbertovog programa dokazivanja konzistentnosti aritmetike (Drugi Hilbertov problem: Dokazati konzistentnost aritmetike^[2]), dokazao je (sintaksnu) nepotpunost aksiomatskog sustava aritmetike i bilo kojeg sustava koji mu je sličan. U radu se služio prevođenjem metamatematičkih tvrdnjâ u aritmetičke tvrdnje. Dokazom je pokazao da se ne može napraviti konačan ili prebrojivo beskonačan skup (konzistentnih) aksioma iz kojih će se moći dokazati sve aritmetičke istine, odnosno formalizacija ima granice.^[1]^:15. Drugo što je dokazao u radu je nemogućnost dokazivanja konzistentnosti sustava aritmetike unutar nje same (finitnim (konačnim) metodama), pri čemu nije isključio mogućnost dokazivanja konzistentnosti aritmetike nefinitnim metodama. Potonje je dokazao 1936. Hilbertov učenik Gerhard Gentzen (Gentzenov dokaz o konzistentnosti aritmetike). Gödel je 1940./41. našao konstruktivnu interpretaciju aritmetike kojom je dokazao da je konzistentna, no ni to nije bilo Hilbertovim finitnim načelima.^[1]^:16.

Nepotpunost aritmetike se predaje kao posebni kolegij na matematičkim studijima.^[3]

Izvori

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Zlatko Sirotić: Strukturna složenost algoritama / jezika / gramatika / automata . Istra Tech, Pula. Pristupljeno 7. studenoga 2025.
↑ Mladen Vuković i Petar Gregorek: matematička logika. Goedelovi teoremi nepotpunosti -- 90 godina poslije., math.e. Pristupljeno 7. studenoga 2025.
↑ Mladen Vuković - životopis. Matematičko-fizički list. Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 7. studenoga 2025.

Vanjske poveznice

Održani seminari. Andrej Ščedrov: Gentzenov dokaz o konzistentnosti aritmetike po Bernaysovom izvještaju, 1976.

[strkSl-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Zlatko Sirotić: Strukturna složenost algoritama / jezika / gramatika / automata . Istra Tech, Pula. Pristupljeno 7. studenoga 2025.

[2] Mladen Vuković i Petar Gregorek: matematička logika. Goedelovi teoremi nepotpunosti -- 90 godina poslije., math.e. Pristupljeno 7. studenoga 2025.

[3] Mladen Vuković - životopis. Matematičko-fizički list. Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 7. studenoga 2025.

[1]

[2]

[3]

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
-'''Nepotpunost aritmetike''' dokazao je matematičar [[Kurt Gödel]].
+'''Nepotpunost aritmetike''' dokazao je matematičar [[Kurt Gödel]]. <ref name=strkSl/>{{is|15.}}
-U radu iz 1931. godine kojim je srušio nade [[David Hilbert|Hilbertovog]] programa dokazivanja [[konzistencija (matematička logika)|konzistentnosti]] aritmetike ([[Drugi Hilbertov problem]]:  Dokazati konzistentnost aritmetike<ref> Mladen Vuković i Petar Gregorek: [http://e.math.hr/category/klju-ne-rije-i/matemati-ka-logika '' matematička logika. Goedelovi teoremi nepotpunosti -- 90 godina poslije.''], [[math.e]]. Pristupljeno 7. studenoga 2025.</ref>), dokazao je (sintaksnu) nepotpunost [[aksiom]]atskog sustava [[aritmetika|aritmetike]] i bilo kojeg sustava koji mu je sličan. U radu se služio prevođenjem [[metamatematika|metamatematičkih]] tvrdnjâ u aritmetičke tvrdnje. Dokazom je pokazao da se ne može napraviti [[konačan skup|konačan]] ili [[prebrojiv skup|prebrojivo]] [[beskonačan skup]] (konzistentnih) aksioma iz kojih će se moći dokazati sve aritmetičke istine, odnosno formalizacija ima granice.<ref name=strkSl>Zlatko Sirotić: [https://www.istratech.hr/wp-content/uploads/2019/08/IT1_Sirotic_R2.pdf ''Strukturna složenost algoritama / jezika / gramatika / automata '']. Istra Tech, Pula. Pristupljeno 7. studenoga 2025.</ref>{{is|15.}} Drugo što je dokazao u radu je nemogućnost dokazivanja [[konzistentnost sustava|konzistentnosti sustava]] aritmetike unutar nje same ([[finitna metoda|finitnim (konačnim) metodama]]), pri čemu nije isključio mogućnost dokazivanja konzistentnosti aritmetike [[nefititna metoda|nefinitnim metodama]]. Potonje je [[teorija dokaza|dokazao]] 1936. Hilbertov učenik [[Gerhard Gentzen]] ([[Gentzenov dokaz o konzistentnosti aritmetike]]). Gödel je 1940./41. našao konstruktivnu interpretaciju aritmetike kojom je dokazao da je konzistentna, no ni to nije bilo Hilbertovim finitnim načelima.<ref name=strkSl/>
+U radu iz 1931. godine kojim je srušio nade [[David Hilbert|Hilbertovog]] programa dokazivanja [[konzistencija (matematička logika)|konzistentnosti]] aritmetike ([[Drugi Hilbertov problem]]:  Dokazati konzistentnost aritmetike<ref> Mladen Vuković i Petar Gregorek: [http://e.math.hr/category/klju-ne-rije-i/matemati-ka-logika '' matematička logika. Goedelovi teoremi nepotpunosti -- 90 godina poslije.''], [[math.e]]. Pristupljeno 7. studenoga 2025.</ref>), dokazao je (sintaksnu) nepotpunost [[aksiom]]atskog sustava [[aritmetika|aritmetike]] i bilo kojeg sustava koji mu je sličan. U radu se služio prevođenjem [[metamatematika|metamatematičkih]] tvrdnjâ u aritmetičke tvrdnje. Dokazom je pokazao da se ne može napraviti [[konačan skup|konačan]] ili [[prebrojiv skup|prebrojivo]] [[beskonačan skup]] (konzistentnih) aksioma iz kojih će se moći dokazati sve aritmetičke istine, odnosno formalizacija ima granice.<ref name=strkSl>Zlatko Sirotić: [https://www.istratech.hr/wp-content/uploads/2019/08/IT1_Sirotic_R2.pdf ''Strukturna složenost algoritama / jezika / gramatika / automata '']. Istra Tech, Pula. Pristupljeno 7. studenoga 2025.</ref>{{is|15.}} Drugo što je dokazao u radu je nemogućnost dokazivanja [[konzistentnost sustava|konzistentnosti sustava]] aritmetike unutar nje same ([[finitna metoda|finitnim (konačnim) metodama]]), pri čemu nije isključio mogućnost dokazivanja konzistentnosti aritmetike [[nefititna metoda|nefinitnim metodama]]. Potonje je [[teorija dokaza|dokazao]] 1936. Hilbertov učenik [[Gerhard Gentzen]] ([[Gentzenov dokaz o konzistentnosti aritmetike]]). Gödel je 1940./41. našao konstruktivnu interpretaciju aritmetike kojom je dokazao da je konzistentna, no ni to nije bilo Hilbertovim finitnim načelima.<ref name=strkSl/>{{is|16.}}
 Nepotpunost aritmetike se predaje kao posebni kolegij na matematičkim studijima.<ref>[https://web.math.pmf.unizg.hr/mfl/vukovic.htm ''Mladen Vuković - životopis'']. [[Matematičko-fizički list]]. Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 7. studenoga 2025.</ref>