Diofantska jednadžba

Diofantskom jednadžbom nazivamo općenito neodređenu polinomnu jednadžbu ili neodređenu jednadžbu nekog drugog oblika koja, međutim, nalazi rješenja u domeni cijelih pozitivnih brojeva odnosno prirodnih brojeva.

Linearna diofantska jednadžba

Linearna diofantska jednadžba ima općeniti oblik:

[math]\displaystyle{ ax+by=c \, }[/math]

gdje može postojati jedno, nekoliko ili neograničeno mnogo rješenja predstavljenih brojevima iz skupa prirodnih brojeva.

Primjer 1

Zadana je Diofantska jednadžba:

[math]\displaystyle{ 11x+8y=104.\, }[/math]

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} 8y& = 104-11x \\ y& = \frac{104-11x}{8} \\ y& = 13- \frac{11x}{8} \end{align} }[/math]

Razlomak jedino može biti cijeli broj, a y prirodan za x = 8 te je time određeno i jedino rješenje postavljene jednadžbe: x = 8, y = 2.

Primjer 2

Zadana je diofantska jednadžba:

[math]\displaystyle{ 3x+1=5y \, }[/math]

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} 3x& = 5y-1 \\ x& = \frac{5y-1}{3} \\ x& =y+ \frac{2y-1}{3} \end{align} }[/math]

Veličine x i y bit će cijeli brojevi ukoliko je i razlomak (2y-1)/3 cijeli broj što je ispunjeno za uređene parove brojeva (x, y): (3, 2), (8, 5), (13, 8), …. Broj uređenih parova brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi je beskonačan.

Nelinearna diofantska jednadžba

Nelinearnim diofantskim jednadžbama možemo u širem smislu smatrati jednadžbe gdje se nepoznate veličine javljaju kao potencije ili umnožak dviju ili više nepoznatih veličina.

Nelinearna diofantska jednadžba u jednostavnom obliku

Zadana je jednadžba:

[math]\displaystyle{ xy-2y=7x-5 \, }[/math]

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} y(x-2)& = 7x-5 \\ y& = \frac{7x-5}{x-2} \\ y& = \frac{7x-14+14-5}{x-2} \\ y& = 7 + \frac{9}{x-2} \end{align} }[/math]

Cjelobrojna rješenja jednadžbe postoje za uređene parove (3, 16), (5, 10) i (11, 8).

Pitagorine trojke

Pitagorinim trojkama nazivamo uređen skup cijelih brojeva (x, y, z) većih od nule koji zadovoljavaju jednadžbu:

[math]\displaystyle{ x^n + y^n = z^n. \, }[/math]

za n = 2. Radi se, očito, o cijelim brojevima koji zadovoljavaju Pitagorin poučak, dakle, o uređenim trojkama brojeva (3, 4, 5), (6, 8, 10), (12, 16, 20), itd. Broj rješenja za n = 2 je beskonačan. Za prirodne brojeve n > 2 jednadžba nema rješenja, što je ustvrdio francuski matematičar Pierre de Fermat u svojem slavnom posljednjem teoremu.

Pellova jednadžba

Jednadžbu oblika:

[math]\displaystyle{ x^2 -n y^2 = \pm 1 \, }[/math]

nazivamo Pellova jednadžba. Jednadžbe ovog oblika razmatrali su još indijski i starogrčki matematičari. Za svaki prirodan broj n koji nije potpuni kvadrat mogu se naći prirodni brojevi x i y koji zadovoljavaju iskazanu jednadžbu. Za Pellovu jednadžbu:

[math]\displaystyle{ x^2 - 7y^2 = 1.\, }[/math]

najmanje rješenje je x = 8, y = 3, a postoji i beskonačan broj drugih rješenja: (127, 48), (2024, 765), (32257, 12192), (514088, 194307), (8193151, 3096720), (130576328, 49353213), itd.

Erdős–Strausova hipoteza

Hipotezom je pretpostavljeno da se za sve prirodne brojeve n ≥ 2 razlomak 4/n može iskazati kao zbroj tri jedinična razlomka s prirodnim brojevima za nazivnike:

[math]\displaystyle{ \frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z}. \, }[/math]

Na primjer, za n = 1801, postoji rješenje jednadžbe gdje je x = 451, y = 295364 i z = 3249004. Pomnožimo li obje strane jednadžbe s nxyz, nalazimo diofantsku jednadžbu oblika:

[math]\displaystyle{ 4xyz=n(xy+xz+yz).\, }[/math]