Progib

Prikaz elastične linije i progiba jednostavno opterećene grede.

Progib nosača je pomak težišta presjeka u smjeru okomitom na nedeformiranu os nosača (štapa). Kut zaokreta je kut za koji se neki presjek zaokrene u odnosu na svoj prvobitni položaj. Elastična linija nosača ili progibna linija nosača je uzdužna os štapa (težišna linija nosača) u deformiranom (savijenom) obliku. Najveća deformacija nosača ne smije biti veća od unaprijed zadane vrijednosti (uvjet krutosti). Poprečni presjeci pomiču se i istodobno zaokreću oko neutralne osi i pri tome ostaju okomiti na savijenu os štapa. Elastična linija ili progibna linija nosača je savijena (deformirana) uzdužna os nosača.

Progib grede

Jednostavna greda sa silom u sredini

Jednostavna greda sa silom u sredini.

Elastični progib δ_C (u mm) u sredini jednostavne grede (točka C), koja je opterećena silom F u središtu, a nalazi se na 2 jednostavna oslonca, dat je izrazom:

[math]\displaystyle{ \delta_C = \frac {F L^3} {48 E I} }[/math]

gdje je:

[math]\displaystyle{ F }[/math] = sila koja djeluje u sredini grede (N);

[math]\displaystyle{ L }[/math] = duljina između oslonaca (mm);

[math]\displaystyle{ E }[/math] = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

[math]\displaystyle{ I }[/math] = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Progib u bilo kojoj točki x, uzduž grede, koja je udaljena od jednog oslonca, može se izračunati koristeći jednakost:

[math]\displaystyle{ \delta_x = \frac {F x} {48 E I}(3L^2 - 4x^2) }[/math]

za

[math]\displaystyle{ 0 \leq x \leq \frac{L}{2} }[/math]

Jednostavna greda sa silom koja nije sredini

Jednostavna greda sa silom koja nije sredini.

Najveći progib δ_max (u mm) jednostavne grede, koja je opterećena silom F koja nije u središtu, a nalazi se na 2 jednostavna oslonca, dat je izrazom:

[math]\displaystyle{ \delta_{max} = \frac {F a (L^2 - a^2)^{3/2}} {9\sqrt{3} L E I} }[/math]

gdje je:

[math]\displaystyle{ F }[/math] = sila koja ne djeluje u sredini grede (N);

[math]\displaystyle{ L }[/math] = duljina između oslonaca (mm);

[math]\displaystyle{ E }[/math] = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

[math]\displaystyle{ I }[/math] = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴);

[math]\displaystyle{ a }[/math] = udaljenost sile do najbližeg oslonca (vrijedi [math]\displaystyle{ a \leq L/2 }[/math]) (mm);

Najveći progib se pojavljuje na udaljenosti [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] od najbližeg oslonca:

[math]\displaystyle{ x_1 = \sqrt{\frac{L^2 - a^2}{3}} }[/math]

Jednostavna greda s kontinuiranim opterećenjem

Jednostavna greda s kontinuiranim opterećenjem (na primjer snijeg).

Elastični progib u sredini jednostavne grede (točka C), koja je opterećena kontinuiranim opterećenjem q (na primjer snijeg - u N/m), a nalazi se na 2 jednostavna oslonca, dat je izrazom:

[math]\displaystyle{ \delta_C = \frac{5 q L^4} {384 E I} }[/math]

gdje je:

[math]\displaystyle{ q }[/math] = kontinuirano opterećenje (u N/m);

[math]\displaystyle{ L }[/math] = duljina između oslonaca (mm);

[math]\displaystyle{ E }[/math] = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

[math]\displaystyle{ I }[/math] = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Progib u bilo kojoj točki [math]\displaystyle{ x }[/math], uzduž kontinuirano opterećene grede je:

[math]\displaystyle{ \delta_x = \frac{q x} {24 E I} (L^3 - 2L x^2 + x^3) }[/math]

Progib konzole

Prikaz konzole i elastične linije uslijed savijanja.

Konzola je konstrukcijski element kojemu je jedan kraj ukliješten u zid (tako da tu nema progiba) ili u koji drugi dio konstrukcije, a drugi mu je kraj slobodan.

Konzola opterećena na slobodnom kraju

Konzola opterećena silom F na slobodnom kraju.

Elastični progib [math]\displaystyle{ \delta }[/math] i kut zaokreta [math]\displaystyle{ \phi }[/math] (u radijanima) na slobodnom kraju konzole B može se izračunati sa sljedećim izrazom:

[math]\displaystyle{ \delta_B = \frac {F L^3} {3 E I} }[/math]

[math]\displaystyle{ \phi_B = \frac {F L^2} {2 E I} }[/math]

gdje je:

[math]\displaystyle{ F }[/math] = sila koja djeluje na kraju konzole (N);

[math]\displaystyle{ L }[/math] = duljina konzole (mm);

[math]\displaystyle{ E }[/math] = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

[math]\displaystyle{ I }[/math] = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Treba zapaziti da ako se slobodni kraj konzole poveća za 2 puta, tada se progib poveća za 8 puta. Progib u bilo kojoj točki [math]\displaystyle{ x }[/math], uzduž konzole, koja je opterećena na kraju može se izračunati sa sljedećim izrazom:

[math]\displaystyle{ \delta_x = \frac {F x^2} {6 E I} (3L - x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \phi_x = \frac {F x} {2 E I} (2L - x) }[/math]

Kontinuirano opterećena konzola

Kontinuirano opterećena konzola.

Elastični progib i kut zaokreta, na slobodnom kraju B, kontinuirano opterećene konzole iznosi:

[math]\displaystyle{ \delta_B = \frac {q L^4} {8 E I} }[/math]

[math]\displaystyle{ \phi_B = \frac {q L^3} {6 E I} }[/math]

gdje je:

[math]\displaystyle{ q }[/math] = kontinuirano opterećenje nosača (N/m)

[math]\displaystyle{ L }[/math] = duljina konzole (mm);

[math]\displaystyle{ E }[/math] = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

[math]\displaystyle{ I }[/math] = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Progib u bilo kojoj točki [math]\displaystyle{ x }[/math], uzduž konzole, koja je kontinuirano opterećena može se izračunati sa sljedećim izrazom:

[math]\displaystyle{ \delta_x = \frac {q x^2} {24 E I}(6L^2 - 4L x + x^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \phi_x = \frac {q x} {6 E I}(3L^2 - 3L x + x^2) }[/math]