San brucoša

San brucoša je termin koji se često prirodaje sljedećoj greški u računanju n-te potencije binoma: [math]\displaystyle{ (x + y)^n = x^n + y^n. }[/math] Naziva se tako jer studenti prve godine nerijetko zaboravljaju ispravan razvoj kvadrata binoma koji se uči još u osnovnoj školi pa tako računaju [math]\displaystyle{ (x + y)^2 = x^2 + y^2, }[/math] što prema binomnon teoremu ne vrijedi, nego je ispravno pisati [math]\displaystyle{ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. }[/math]

U istinitost binomnog teorema za slučaj n = 2 možemo se uvjeriti ovom skicom.

Zanimljivosti

Zanimljivo je da postoji sličan identitet [math]\displaystyle{ (a + b)^p \equiv a^p + b^p \pmod p }[/math] koji vrijedi za svaka dva cijela broja [math]\displaystyle{ a, b }[/math] i za svaki neparni prosti broj [math]\displaystyle{ p. }[/math]

Naime, prema Malom Fermatovom teoremu vrijedi [math]\displaystyle{ a^p \equiv a \pmod p, b^p \equiv b \pmod p, }[/math] a isto tako je [math]\displaystyle{ (a + b)^p \equiv a + b\pmod p }[/math]. Sada lagano slijedi [math]\displaystyle{ a^p + b^p \equiv a + b \pmod p }[/math] te koristeći svojstvo tranzitivnosti modula zaista dobivamo da je [math]\displaystyle{ (a + b)^p \equiv a^p + b^p \pmod p. }[/math]