Radijalna distribucijska funkcija: razlika između inačica

Posljednja izmjena od 7. svibanj 2022. u 18:34

Radijalna distribucijska funkcija (RDF), u statističkoj mehanici, pokazuje kako se mijenja gustoća u odnosu na udaljenost od referentne čestice, u sustavu više čestica. Od iznimne je važnosti za statističku mehaniku i molekularnu dinamiku, s obzirom da povezuje mikroskopske detalje sa makroskopskim svojstvima.

Drugačije iskazano, RDF pokazuje kolika je vjerojatnost da se čestica nađe na nekoj udaljenosti Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} od referentne čestice.

RDF se, tipično, računa tako da se izračunaju udaljenosti između svih parova čestica. Ti podatci se zatim skupe u histogram, koji se normalizira u odnosu na idealni plin (u kojem su čestice totalno nekorelirane).

RDF se može definirati preko srednjeg broja čestica u ljusci debljine Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dr} na udaljenosti Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} od referentnog atoma, odnosno:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(r)={\frac {\langle n(r)\rangle }{4\pi r^{2}\rho dr}}}

gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(r)} radijalna distribucijska funkcija, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle n(r)\rangle } srednji broj čestica, a Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho } gustoća. ^[1] ^[2]

Definicija

Datoteka:RDF molekula vode.png

RDF 1000 molekula vode na 300K.

Promotrimo sustav od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} čestica u volumenu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} i na temperaturi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} . Označimo koordinate čestice sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} , gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\,N} . Pošto ne razmatramo situaciju u kojoj na sustav djeluje neko vanjsko polje, potencijalna energija Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})} je definirana samo kao interakcija između čestica.

Promatramo kanonski ansambl Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N,V,T)} u kojem je patricijska funkcija definirana kao Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}} . Tada je vjerojatnost da se čestica 1 nađe u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}} , čestica 2 u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}} , itd., dana sa jednadžbom

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^{(N)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}}{Z_{N}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}\,} .

Ukoliko nas zanimaju pozicije manjeg broja čestica, tada možemo fiksirati određen broj čestica Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N-n} , te integrirati prethodni izraz po preostalim koordinatama Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}} :

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}\,} .

S obzirom da su čestice indentične, više nam odgovara gledati vjerojatnost da bilo koje Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} čestice zauzmu poziciju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n}} u bilo kojoj permutaciji - što definira Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -čestičnu gustoću

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {N!}{(N-n)!}}P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})\,}

Uvođenjem korelacijske funkcije Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g^{(n)}}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho ^{n}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})\,}

gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho ^{(n)}} jednako Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho ^{n}} , a Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g^{(n)}} ispravlja korelaciju između atoma, dolazimo do konačne relacije:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})={\frac {V^{n}N!}{N^{n}(N-n)!}}\cdot {\frac {1}{Z_{N}}}\,\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}\,}

Izvori

↑ L. Zoranić, skripta iz Vježbi za kolegij "Molekularna dinamika", str. 2
↑ Lua error in Modul:Citation/CS1 at line 4096: data for mw.loadData contains unsupported data type 'function'.

[1] L. Zoranić, skripta iz Vježbi za kolegij "Molekularna dinamika", str. 2

[HansenMcDonald2005-2] Lua error in Modul:Citation/CS1 at line 4096: data for mw.loadData contains unsupported data type 'function'.

[1]

[2]

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
-<!--'''Radijalna distribucijska funkcija'''-->[[File:Rdf schematic.jpg|thumb|250px|right|računanje <math>g(r)</math>]]
+<!--'''Radijalna distribucijska funkcija'''-->[[Datoteka:Rdf schematic.jpg|thumb|250px|right|računanje <math>g(r)</math>]]
 '''Radijalna distribucijska funkcija''' (RDF), u [[Statistička mehanika|statističkoj mehanici]], pokazuje kako se mijenja gustoća u odnosu na udaljenost od referentne čestice, u sustavu više čestica. Od iznimne je važnosti za statističku mehaniku i molekularnu dinamiku, s obzirom da povezuje mikroskopske detalje sa makroskopskim svojstvima.
@@ Redak 10: / Redak 10: @@
 <math>g(r) = \frac{\langle n(r)\rangle}{ 4\pi r^2\rho dr} </math>
-gdje je <math>g(r)</math> radijalna distribucijska funkcija, <math>\langle n(r)\rangle</math> srednji broj čestica, a <math>\rho</math>  [[gustoća]]. <ref>L. Zoranić, [http://mapmf.pmfst.unist.hr/~larisaz/md/vjezba2.pdf skripta iz Vježbi za kolegij "Molekularna dinamika"], str. 2</ref> <ref name="HansenMcDonald2005">{{cite book |author=[[Jean-Pierre Hansen|Hansen, J. P.]] and McDonald, I. R. |year=2005 |title=Theory of Simple Liquids |edition=3rd |publisher=Academic Press}}</ref>
+gdje je <math>g(r)</math> radijalna distribucijska funkcija, <math>\langle n(r)\rangle</math> srednji broj čestica, a <math>\rho</math>  [[gustoća]]. <ref>L. Zoranić, [http://mapmf.pmfst.unist.hr/~larisaz/md/vjezba2.pdf skripta iz Vježbi za kolegij "Molekularna dinamika"], str. 2</ref> <ref name="HansenMcDonald2005">{{Citiranje knjige |author=[[Jean-Pierre Hansen|Hansen, J. P.]] and McDonald, I. R. |year=2005 |title=Theory of Simple Liquids |edition=3rd |publisher=Academic Press}}</ref>
 ==Definicija==
-[[File:RDF molekula vode.png|thumb|RDF 1000 molekula vode na 300K.]]
+[[Datoteka:RDF molekula vode.png|thumb|RDF 1000 molekula vode na 300K.]]
 Promotrimo sustav od <math>N</math> čestica u volumenu <math>V</math> i na temperaturi <math>T</math>. Označimo koordinate čestice sa <math>\mathbf{r}_{i}</math>, gdje je <math>\textstyle i = 1, \, \ldots, \, N</math>. Pošto ne razmatramo situaciju u kojoj na sustav djeluje neko vanjsko polje, [[potencijalna energija]] <math>\textstyle U_{N} (\mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{N})</math>  je definirana samo kao interakcija između čestica.