Kvazikategorija

Kvazikategorija (ili kvazi-kategorija, ili slabi ili unutarnji Kanov kompleks) je struktura u matematici koja se smatra modelom za tzv. (beskonačno,1)-kategoriju, više kategorijsku generalizaciju pojma kategorije, za koju se vjeruje da ima više međusobno ekvivalenmtnih modela koji su donekle poznati. Alexandre Grothendick je uveo konstrukciju nerva kategorije, koja funktorijalno pridružuje kategoriji simplicijalni objekt, njezin nerv; to pridruživanje je zapravo vjeran funktor. Nerv kategorije je primjer kvazikategorije. Svaki Kanov kompleks je također primjer.

Definicija

Kvazikategorija C je simplicijalni skup koji zadovljava unutarnje Kanove uvjete (slabe Kanove uvjete): svaki unutarnji rog u C, tj. preslikavanje simplicijalnih skupova $\Lambda ^{k}[n]\to C$ gdje je $0<k<n$, ima proširenje do preslikavanja $\Delta [n]\to C$.

Povijest, autori i primjene

Pojam su uveli Boardman i Vogt; Vogt i Joyal stoga kvaziikategorije ponekad zovu Boardmanovim kompleksima. André Joyal je u višegodišnjim istraživanjima generalizirao većinu osnovnih pojmova i konstrukcija iz teorije kategorija na kvazikategorije. Značajnu dalju sistematizaciju područja možemo naći u seriji radova Jacoba Lurieja, posebno u njegovoj knjizi Higher topos theory; Lurie je uz to razvio spektakularne primjene te teorije (Artinov teorem predstavljivosti u izvedenoj algebarskoj geometriji, geometrijska definicija prstena topoloških modularnih formi, rješenje Baez-Dolanove slutnje o kobordizmima, primjene u topološkoj kvantnoj teoriji polja).

Literatura

• A. Joyal, Quasi-categories and Kan complexes, (in Special volume celebrating the 70th birthday of Prof. Max Kelly) J. Pure Appl. Algebra 175 (2002), no. 1-3, 207--222, doi.

• A. Joyal, M. Tierney, Quasi-categories vs Segal spaces, Categories in algebra, geometry and mathematical physics, 277--326, Contemp. Math. 431, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, math.AT/0607820

• A. Joyal, The theory of quasi-categories and its applications, lectures at CRM Barcelona February 2008, draft hc2.pdf

• A Joyal, Notes on quasicategories, draft, Joyal.pdf

• Jacob Lurie, Higher Topos Theory, math.CT/0608040, published version: pdf

• Stranica na Joyalovom Catlabu: The theory of quasi-categories

• Stranica na nlabu: quasi-category

• Michael Boardman, Rainer Vogt, Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Springer-Verlag, 1973.