WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-27T14:06:26Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Vector field.svg|desno|mini|222px|Vektorsko polje oblika f(''x'',''y'')=(−''y'', ''x'')]]
U [[matematika|matematici]] i [[fizika|fizici]] '''vektorsko polje''' je [[polje (fizika)|polje]] koje svakoj točki lokalno [[Euklidski prostor|Euklidskog prostora]] pridružuje [[vektor]]sku veličinu. U [[Fizika|fizici]], primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u [[Fluid|fluidu]] ili [[Električno polje|električno]] i [[Magnetsko polje|magnetsko]] polje. Za razliku od njih, [[Skalarno polje|skalarna polja]] svakoj točki prostora pridružuju jedan [[skalar]] (broj), poput [[Temperatura|temperature]] ili lokalne [[Gustoća|gustoće]].

Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su [[divergencija]] i [[rotacija polja|rotacija]].

==Formalna definicija==

Neka <math>X_0</math> označava skup svih [[Radijvektor|radijvektora]] u koordinatnom sustavu <math>\left(O,x_1,x_2,x_3,...,x_k\right); k = \dim D</math>, tj.

:<math>X_0=\{\overrightarrow{OM}| M=(x_1,x_2,x_3,...,x_k)\in\mathbb{R}^n \}</math>
Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je <math>D\subseteq\mathbb{R}^n</math> skup koordinata.

Tada je svaka funkcija

:<math> \mathbf{F}:D \mapsto X_0</math>

'''vektorska''' '''[[funkcija]] skalarne varijable''', ili kraće '''vektorska funkcija''' ili '''vektorsko polje'''. Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje [[vektor]].

[[Datoteka:Potencijalno v polje.png|desno|mini|250px|Potencijalno vektorsko polje]]
[[Datoteka:Solenoidno vektorsko polje.png|desno|mini|250px|Solenoidno vektorsko polje]]
[[Datoteka:Laplaceovo Vektorsko Polje.png|desno|mini|250px|Laplaceovo vektorsko polje]]
[[Datoteka:Opce Vektorsko Polje.png|desno|mini|250px|Opće vektorsko polje]]

==Transformacije sustava==
Neka je <math>S\subseteq\mathbb{R}^n</math> i <math>V_x:S\mapsto\mathbb{R}^n</math> vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ako je <math>Y</math> neki drugi koordinatni sustav na ''S'', tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu <math>Y</math>:
:<math>V_Y:=\frac{\partial y}{\partial x}V_x.</math>

==Napomene==
Za ''V'' se kaže da je C<sup>''k''</sup> vektorsko polje, ako je ono ''k'' puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati '''vektorsko''' i '''skalarno''' polje! Što vrijedi za vektore i [[skalar|skalare]], isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u ''koordinatnim transformacijama'': skalar sam po sebi ''jest'' koordinata, dok je vektor ''opisan'' koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje ''koordinate'', a vektorsko vektore.

==Primjene==
Vektorska polja se najviše primjenjuju u [[fizika|fizici]], npr.
* [[brzina|Brzinu]] vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad <math>\mathbb{R}^4</math>, gdje su svakoj točki prostora u svakom trenutku vremena <math>\left(x,y,z,t\right)</math> pridružene brzine

<math>\vec{v}(x,y,z,t)=v_x(x,y,z,t)\,\vec{\imath}+v_y(x,y,z,t)\,\vec{\jmath}+v_z(x,y,z,t)\,\vec{k}</math>,
* Brzina protjecanja [[fluid|fluida]] kroz cijev,
* Opis magnetskog djelovanja,
* Opis električnog djelovanja,
* [[Gravitacija]].

==Podjela==
Prema [[divergencija|divergenciji]] i [[rotacija polja|rotaciji]], vektorska polja dijelimo na:
* Potencijalno ili bezvrtložno:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>
* Solenoidno ili bezizvorno:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W} = 0 \mbox{ (svuda)}</math>
* Laplaceovo:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math>
* Polje općeg oblika ili složeno polje:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>

==Povezani pojmovi==
*[[Tok polja]]
* [[Divergencija]]
* [[Rotacija polja]]
* [[Električno polje]]
* [[Magnetsko polje]]
* [[Elektromagnetsko polje]]

==Vanjske Poveznice==
* [http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node20.html Skalarna i vektorska polja. Gradijent.]
* [http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node7.html Skalarna i vektorska polja.]
* [http://mathworld.wolfram.com/VectorField.html Wolfram: Vector Fields]
* [http://www.falstad.com/vector/ 2D Vector Field Simulation]
* [http://www.falstad.com/vector3d/ 3D Vector Field Simulation]

[[Kategorija:Fizika]]
[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Diferencijalna topologija]]

Vektorsko polje - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica