WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-14T09:35:50Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Surface integral - definition.svg|mini|upright=1.5|Tok vektorskog polja {{Matematika|'''F'''}} kroz plohu {{Matematika|''S''}}.]]
U [[matematika|matematici]] i [[fizika|fizici]] '''tok''' '''vektorskog polja''' je jedna od najreprezentativnijih veličina za [[vektorsko polje]].<ref>{{Citiranje knjige|title=The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 3: Vector Integral Calculus|url=https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_03.html|accessdate=2020-10-19}}</ref> Pojam potječe iz [[Mehanika fluida|mehanike fluida]] u kojoj se za polje uzima polje brzina [[Fluid|fluida]], pa tok predočava količinu fluida proteklog u određenom vremenu kroz zamišljenu plohu u njegovoj struji. Veličina se često koristi i u drugim područjima fizike poput termodinamike, gdje može predstavljati tok [[Toplinska vodljivost|toplinske struje]] ovisne o gradijentu polja [[temperatura]], ili [[Elektrodinamika|elektrodinamike]], u kojoj se dva osnovna zakona u [[Maxwellove jednadžbe|Maxwellovim jednadžbama]] mogu prikazati kao tok [[Električno polje|električnog]] ili [[Magnetsko polje|magnetskog polja]] kroz zatvorenu plohu.

==Definicija==
[[Datoteka:Tok vektorskog polja.png|desno|mini|upright=1.5|Tok fluida brzine <math>\vec{v}</math> kroz infinitezimalnu plohu površine <math> \mathrm d S</math>.]]
Ako se malena površina <math> \mathrm d S</math> nalazi u struji fluida tako da njena normala <math>\vec{n}</math> zatvara kut φ s vektorom lokalne brzine fluida <math>\vec{v}</math>, tada se sve čestice koje su početno bile na elementu površine <math> \mathrm d S</math> pomaknu u smjeru vektora brzine za iznos koji je razmjeran brzini i vremenu protjecanja <math> \Delta t</math> , a obujam fluida koji je protekao tom površinom jednak je obujmu <math> \Delta V</math> [[paralelepiped|paralelepipeda]] kojem je osnovica <math> \mathrm d S</math>, a visina <math> v\,\Delta t \cos\varphi</math>. Vrijedi dakle <math> \Delta V= v\, \Delta t \cos \varphi\,\mathrm d S</math>. Tok polja <math>\vec{v}</math> kroz element površine <math> \mathrm d S</math> definira se kao brzina protoka volumena fluida, što odgovara jakosti struje, <math> \mathrm d \Phi = \Delta V / \Delta t</math> pa je

:<math> \mathrm d \Phi=v\cos\varphi\, dS</math>.

Budući da je <math>v\cos\varphi=\vec{v} \cdot \vec{n}</math> ([[Skalarni umnožak|skalarni umnožak vektora]]) te da možemo definirati <math>\vec{n}\,\mathrm d S=\mathrm d \vec S</math>, slijedi

:<math> \mathrm d \Phi=\vec{v} \cdot \vec{n}\,\mathrm d S=\vec{v} \cdot \mathrm d \vec{S}.</math>

Tok polja <math>\vec{v}</math> kroz cijelu površinu <math> S</math> se prema tome definira kao zbroj [[Infinitezimalni račun|infinitezimalnih]] doprinosa po elementima površine <math> \mathrm d S</math>, to jest kao integral

:<math>\Phi\stackrel{def.}{=}\int\limits_{S} \vec{v} \cdot \mathrm d \vec{S}</math>.
I općenito, tok bilo kojeg vektorskog polja <math> \mathbf{F}</math> kroz plohu <math> S</math> je<ref>{{Citiranje weba|url=http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node24.html|title=Tok vektorskog polja|archiveurl=http://web.archive.org/web/20180815034915/http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node24.html|archivedate=2018-08-15|author=Salih Suljagić|date=2000-03-11|work=|language=|publisher=|accessdate=2020-11-22}}</ref>

:<math>\Phi\stackrel{def.}{=}\int_S \mathbf{F} \cdot \mathrm d \mathbf{S}</math>.

==Svojstva==

Ako je površina zatvorena, tok fluida postaje plošni integral po zatvorenoj plohi

:<math>\Phi=\oint_S \vec{v} \cdot \mathrm d \vec{S}.</math>

Ako je vektor <math>\vec{v}</math> posvuda po plohi isti, tok je

:<math>\Phi=\oint_S \vec{v} \cdot \mathrm d\vec{S}=\vec{v} \oint_S \mathrm d \vec{S}=0</math>

jer je integral vektora zatvorene plohe jednak nuli. To pak znači da je u svakom trenutku količina fluida koji ulazi u zatvorenu plohu jednaka količini fluida koji iz nje izlazi. Ovo je uvijek slučaj za nestlačive fluide.

Općenito, ako unutar zatvorene plohe u vektorskom polju postoje ''izvori'' ili ''ponori'' polja, tok će biti različit od nule. U elektromagnetizmu, pozitivni naboji obuhvaćeni plohom doprinose toku električnoga polja ''iz plohe'', a negativni naboji toku polja ''u plohu''. Tok magnetskoga polja kroz zatvorenu plohu je pak uvijek nula, čime se izražava činjenica da ne postoje [[Magnetski monopol|magnetski monopoli]].

Kada polje treba lokalno opisati pomoću toka, koristi se mjera lokalne gustoće toka, dakle toka kroz malenu zatvorenu plohu u nekoj točki prostora podijeljenog obujmom plohe. Za to se definira [[Divergencija polja|divergencija vektorskog polja]], <math> \mathrm{div}\mathbf{F}</math> koja prema teoremu Gaussa i Ostrogradskog ima svojstvo da je njen volumni integral po unutrašnjosti plohe jednak toku polja kroz plohu,<ref name=":1">{{Citiranje weba|url=https://mathworld.wolfram.com/DivergenceTheorem.html|title=Divergence Theorem|author=Eric W. Weisstein|language=en|accessdate=2020-10-19}}</ref>

:<math> \oint_{V_S}\mathrm{div}\mathbf{F}\,\mathrm d V=\oint_S\mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf S</math>.
:
== Vezani pojmovi ==
* [[Vektorsko polje]]
* [[Gradijent|Gradijent skalarnog polja]]
* [[Rotacija polja|Rotacija vektorskog polja]]
* [[Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama]]

== Izvori ==
{{Izvori}}

[[Kategorija:Fizikalne veličine]]
[[Kategorija: Mehanika fluida]]

Tok polja - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica