WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-10-28T18:40:04Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[Matematička analiza|matematičkoj analizi]], '''teorem o međuvrijednostima''' kaže da, ako [[Neprekidnost funkcije|neprekidna]] [[Funkcija (matematika)|funkcija]] ''f'', sa segmentom ''[a, b]'' kao svojom domenom, poprima vrijednosti ''f(a)'' i ''f(b)'' na svakom kraju segmenta, onda isto tako ona i poprima svaku vrijednost između ''f(a)'' i ''f(b)'' u nekoj točki segmenta.

Ta tvrdnja ima dva važna korolara:

* Ako neprekidna funkcija ima vrijednosti suprotnog predznaka unutar segmenta, onda ona ima korijen u tom segmentu ('''Bolzanov teorem''').
* Slika neprekidne funkcije definirane na segmentu je također segment.

== Motivacija ==

Teorem obuhvaća intuitivno svojstvo neprekidnih funkcija: neka je ''f'' neprekidna na ''[1, 2]'' sa znanim vrijednostima ''f(1)=3'' i ''f(2)=5''. Tada graf od ''y=f(x)'' mora proći kroz horizontalnu liniju ''y=4'' dok ''x'' ide od 1 do 2. To predstavlja ideju da se graf neprekidne funkcije na segmentu može nacrtati bez da se podigne olovka sa papira.

== Teorem ==

Teorem o međuvrijednosti kaže sljedeće.

Neka je dan segment <math>I = [a, b]</math> u <math>\mathbb{R}</math> i neprekidna funkcija <math>f: I \mapsto \mathbb{R}</math>. Tada:

* ''Inačica 1.'' Ako je ''u'' broj između ''f(a)'' i ''f(b)'', to jest, <math>\min (f(a), f(b)) < u < \max (f(a), f(b))</math> tada postoji unutarnja točka ''c'' segmenta ''I'' takva da je <math>c = f(u)</math>.

* ''Inačica 2.'' Slika <math>f(I)</math> je također segment, ili sadrži <math>[f(a), f(b)]</math> ili <math>[f(b), f(a)]</math>.

'''Bilješka''': Inačica 2 kaže da skup vrijednosti funkcije nema prazninu. Za svake dvije funkcijske vrijednosti <math>c < d</math>, čak i ako su izvan intervala između ''f(a)'' i ''f(b)'', sve točke u segmentu ''[c, d]'' su također vrijednosti funkcije: <math>[c, d] \subset f(I)</math>.

Podskup [[Realni broj|realnih brojeva]] bez unutarnje praznine je [[Interval (matematika)|interval]]. Inačica 1 je prirodno sadržana u Inačici 2.

== Veza sa potpunošću ==

Teorem ovisi o, i ekvivalentan je, potpunosti realnih brojeva. Teorem o međuvrijednosti ne odnosi se na [[Racionalni broj|racionalne brojeve]], jer praznine postoje između racionalnih brojeva; [[Iracionalni broj|iracionalni brojevi]] pune te praznine. Na primjer, funkcija <math>f(x) = x^2 - 2</math> za <math>x \in \mathbb{Q}</math> zadovoljava ''f(0) = -2'' i ''f(2) = 2''. Međutim, ne postoji racionalni broj ''x'' takav da je ''f(x) = 0'', jer je <math>\sqrt{2}</math> iracionalan broj.

== Povijest ==

Za ''u = 0'' tvrdnja je znana pod nazivom ''[[Bolzanov teorem]]''. Taj teorem je prvi dokazao [[Bernard Bolzano]] u 1817. [[Augustin-Luis Cauchy]] je dao još jedan dokaz 1821.<ref>Grabiner, Judith V. (1983.) ''Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus''. The American Mathematical Monthly. (str. 185-194.)</ref> Oba su bila inspirirana ciljem formalizacije analize funkcija i djelima [[Joseph-Louis Lagrange|Josepha-Louisa Lagrangea]]. Ideja da neprekidne funkcije imaju svojstvo međuvrijednosti ima raniji izvor. [[Simon Stevin]] je dokazao teorem o međuvrijednosti za polinome (upotrebljavajući polinom trećeg stupnja kao primjer) dajući algoritam za konstrukciju decimalnog zapisa rješenja. Algoritam iterativno dijeli interval na 10 dijelova, stvarajući dodatnu znamenku na svakom koraku iteracije.<ref>Karin Usadi Katz i Mikhail G. Katz (2011) ''A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography.'' Foundations of Science.</ref> Prije nego je formalna definicija neprekidnosti dana, svojstvo međuvrijednosti je dano kao dio definicije neprekidne funkcije. [[Louis Arbogast]] je pretpostavio da funkcije nemaju skokova, zadovoljavaju svojstvo međuvrijednosti i imaju inkremente čije veličine odgovaraju veličinama inkrementa varijable.<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., ''Intermediate value theorem'', MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref> Raniji autori držali su da je rezultat očit i da ne zahtijeva dokaz. Uvid Bolzana i Cauchya je bio definiranje općenitog koncepta neprekidnosti (preko infinitezimalnih veličina u Cauchyevom slučaju i koristeći nejednakosti u Bolzanovom slučaju), i davanje dokaza baziranog na takvim definicijama.

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija: Matematička analiza]]
[[Kategorija: Matematički poučci]]

Teorem o međuvrijednostima - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica