Suradnik10: Zamjena teksta - '{{fr}}' u '{{fra oznaka}}'

2025-05-30T03:03:17Z

Zamjena teksta - '{{fr}}' u '{{fra oznaka}}'

←Starija inačica		Inačica od 30. svibanj 2025. u 03:03
Redak 65:		Redak 65:
	* Online [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/linsolver.en linearni rješavač]		* Online [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/linsolver.en linearni rješavač]
	*[http://www.egwald.com/linearalgebra/lineardifferentialequations.php Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi]		*[http://www.egwald.com/linearalgebra/lineardifferentialequations.php Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi]
	* {{fr}} [http://www.math-linux.com/spip.php?rubrique10 Rješenje linearnih sustava]		* {{fra oznaka}} [http://www.math-linux.com/spip.php?rubrique10 Rješenje linearnih sustava]

	[[Kategorija:Linearna algebra]]		[[Kategorija:Linearna algebra]]

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T05:32:11Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[matematika|matematici]] i [[linearna algebra|linearnoj algebri]], '''sustav linearnih jednadžbi''' je skup [[linearna jednačina|linearnih jednadžbi]], kao što je

: <math>
\begin{array}{rcrcrcc}
3x_1 &+& 2x_2 &-& x_3 &=& 1 \\
2x_1 &-& 2x_2 &+& 4x_3 &=& -2 \\
-x_1 &+& \frac{1}{2}x_2 &-& x_3 &=& 0
\end{array}</math>

Standardni problem predstavlja utvrđivanje postoji li skup vrijednosti za nepoznate <math>x_1, x_2, x_3\,\!</math>, koji zadovoljava sve jednadžbe istovremeno, kao i pronalaženje takovog skupa ako postoji. Postojanje skupa rješenja ovisi od jednadžbi, ali i od dostupnih vrijednosti (radi li se o [[cijeli broj|cijelim brojevima]], [[realan broj|realnim brojevima]], i slično).

Sustavi linearnih jednadžbi spadaju među najstarije matematičke probleme, i imaju mnoge primjene, kao što su [[obrada digitalnih signala]], procjene, predviđanja, kao i [[linearno programiranje]] ili aproksimacija nelinearnih problema u [[numerčika analiza|numeričkoj analizi]]. Postoji mnogo načina da se riješi sustav linearnih jednadžbi. Međutim, među najučinkovitijima su [[Gaussov postupak]] i [[dekompozicija Choleskyja]].

Poopćeno, sustav sa ''m'' linearnih jednadžbi i ''n'' nepoznanica se zapisuje na sljedeći način
: <math>
\begin{array}{rcrcccrcl}
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
&&&\vdots&&&&&\vdots \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& \cdots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{array}</math>

gdje su <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> nepoznanice, a brojevi <math>a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}</math> su koeficijenti sustava. Stavljamo koeficijente u matricu na sljedeći način:
: <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

</math>

Ako predstavimo svaku matricu slovom, ovo postaje
: <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math>
gdje je ''A'' a ''m''×''n'' [[matrica (matematika)|matrica]], '''x''' je [[vektor stupac]] sa ''n'' članova, a '''b''' je vektor stupac sa ''m'' članova. [[Gaus-Jordanova eliminacija]] se primjenjuje na sve ove sustave, čak i ako su koeficijenti iz nekog proizvoljnog [[polje (matematika)|polja]].

Ako je polje beskonačno (kao u slučaju [[realni brojevi|realnih]] ili [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]]), moguća su samo sljedeća tri slučaja (točno će jedan biti točan) za svaki dani sustav linearnih jednadžbi:
* sustav nema rješenja (sustav je proturječan, tj. nemoguć)
* sustav ima točno jedno rješenje (sustav je istinit)
* sustav ima beskonačno mnogo rješenja (sustav je neodređen)

Sustav oblika
: <math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math>
se naziva ''homogenim'' sustavom linearnih jednadžbi. Skup svih rješenja se naziva [[nul prostor|nul prostorom]] matrice ''A''.

Posebno u svjetlu obilja gorenavedenih primjena, nekoliko učinkovitijih zamjena Gauss-Jordanovoj eliminaciji je razvijeno za širok spektar specijalnih slučajeva. Mnogi od ovih poboljšanih algoritama su [[teorija složenosti|složenosti]] ''O''(''n''<sup>2</sup>) (vidi: [[Veliko-O notacija]]). Neki od najuobičajenijih specijalnih slučajeva su:
* Za probleme oblika ''A'''''x''' = '''b''', gdje je ''A'' simetrična [[Toeplitzova matrica]], može se koristiti [[Levinsonova rekurzija]] ili neka od njenih inačica. Jedna od često korištenih varijacija je [[Schurova rekurzija]], koja se koristi u [[obrada digitalnih signala|obradi digitalnih signala]].
* Za probleme oblika ''A'''''x''' = '''b''', gdje je ''A'' [[singularna matrica]], ili gotovo singularna, matrica ''A'' se dekomponira u umnožak triju matrica. Matrice s lijeve i desne strane su lijevi i desni singularni vektori. Matrica u sredini je [[dijagonalna matrica]] i sadrži singularne vrijednosti. Matrica tada može biti invertirana jednostavnom zamjenom redoslijeda tri komponente, transponiranjem matrica singularnih vektora, te uzimanjem recipročne vrijednosti dijagonalnih elemenata središnje matrice. Ako je bilo koja od singularnih vrijednosti preblizu nule, i stoga blizu singularnosti, postavlja se na nulu.

== Vanjske poveznice ==
* Online [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/linsolver.en linearni rješavač]
*[http://www.egwald.com/linearalgebra/lineardifferentialequations.php Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi]
* {{fr}} [http://www.math-linux.com/spip.php?rubrique10 Rješenje linearnih sustava]

[[Kategorija:Linearna algebra]]

Sustav linearnih jednadžbi - Povijest promjena

Suradnik10: Zamjena teksta - '{{fr}}' u '{{fra oznaka}}'

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica