WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-06T23:32:21Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

Pojednostavljeno govoreći, '''red''' je suma beskonačno mnogo članova nekog [[niz]]a <math> (a_n)_{n \in \mathbf{N}}</math>,
tj. <math>a_1+a_2+\ldots+a_n+\ldots</math>.

Objekti <math>a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots,</math> koji se nazivaju ''članovi'' reda, mogu označavati [[broj]]eve, [[funkcija|funkcije]], [[vektor]]e, [[matrica (matematika)|matrice]], itd. Po tipu članova red može biti [[numerički red]], [[funkcijski red]], red [[vektor]]a, red [[matrica]] itd. Umjesto navedenog, razvijenog zapisa reda, često se navodi skraćeni zapis <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>, ili još kraće <math>\sum a_k</math>.

Formalno, red se definira kao granična vrijednost niza parcijalnih suma. Za članove niza <math> (a_n)_{n \in \mathbf{N}}</math> definiramo novi niz <math> (S_n)_{n \in \mathbf{N}}</math>, gdje je <math> S_n </math> zbroj prvih n članova niza, tj.

:<math> S_1 = a_1 </math>
:<math> S_2 = a_1 + a_2 </math>
:<math> S_3 = a_1 + a_2 + a_3 </math>
:<math> S_n = a_1 + \ldots + a_n </math>

Vrijednost <math> S_n </math> nazivamo n-tom ''parcijalnom sumom'' reda. Vrijednost <math>S = \lim_{n\to\infty}S_n</math> tada nazivamo redom (ili ponekad, ''sumom reda''). Ako je vrijednost reda konačna, za red kažemo da je [[konvergentan]]. U suprotnom za red kažemo da je [[divergentan]].

Red može imati i oblik
: <math>\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k=\ldots+a_{-n}+\ldots+a_{-1}+a_0+a_1+\ldots+a_n+\ldots,</math> (npr. [[Loranov red]]) ali i oblik
: <math>\sum_{i,j=1}^\infty a_{ik}=(a_{11}+a_{12}+\ldots+a_{1n}+\ldots)+(a_{21}+a_{22}+\ldots+a_{2n}+\ldots)+\ldots+(a_{n1}+a_{n2}+\ldots+a_{nn}+\ldots),</math>

== Neki tipovi redova ==
* ''[[Geometrijski red]]'' je red kod koga se uzastopni članovi dobivaju množenjem prethodnih konstantnim brojem. Na primjer:
::<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \ldots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.</math>
:U općem slučaju, geometrijski red
::<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math>
:konvergira [[akko]] |''z''| < 1.
:Suma geometrijskog reda je <math>\sum_{n=0}^\infty z^n = \frac {1}{1-z}</math>, kada je |''z''| < 1.

* ''[[Harmonijski red]]'' je red
::<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \ldots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.</math>
:Harmonijski red divergira.

* ''[[Alternirajući red]]'' je red kod kojeg uzastopni članovi imaju suprotne predznake. Na primjer:
::<math>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \ldots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.</math>

*Red
::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}</math>
:konvergira ako ''r'' > 1 a divergira za ''r'' ≤ 1, što se može pokazati integralnim kriterijem za konvergenciju redova. Kao funkcija od ''r'', suma ovog reda je [[Riemannova zeta funkcija]].

* [[Teleskopski red]]
::<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>
:konvergira ako [[niz]] ''b''''n'' konvergira limesu ''L'' kada ''n'' teži beskonačnosti. Tada je vrijednost reda ''b''1 − ''L''.

== Apsolutna konvergencija ==
Za red
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
se kaže da '''apsolutno konvergira''' ako red [[apsolutna vrijednost broja|apsolutnih vrijednosti]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|</math>
konvergira. U ovom slučaju početni red i sva njegova preuređenja konvergiraju, i konvergiraju k istoj sumi.

Po [[Riemannov teorem o redovima|Riemannovom teoremu o redovima]], ako red uvjetno konvergira, uvijek se može naći preuređenje članova reda tako da preuređeni red divergira. Štoviše, ako su ''a''''n'' realni, a ''S'' je bilo koji realan broj, može se naći preuređenje koje konvergira k ''S''.

[[Kategorija:Matematička analiza]]

Red (matematika) - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica