WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-07-28T22:33:14Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Odnos_skupova_brojeva.png|right|mini|Odnos skupova brojeva]]
'''Skup realnih brojeva''' <math>\mathbb{R}</math> je [[unija skupova|unija]] [[skup]]a [[Racionalni broj|racionalnih brojeva]] <math>\mathbb{Q}</math> i skupa [[Iracionalni broj|iracionalnih brojeva]].

[[Aritmetika|Računske operacije]] na skupu <math>\mathbb{R}</math> su definirane kao i za ostale skupove <math>\mathbb{N}</math> , <math>\mathbb{Z}</math> i <math>\mathbb{Q}</math>, tj. za realne brojeve vrijede [[svojstva zbrajanja i množenja|svojstva]] [[komutativnost]]i i [[asocijativnost]]i [[zbrajanje|zbrajanja]] i [[množenje|množenja]], te [[distributivnost]]i množenja prema zbrajanju.

* Skup <math>\mathbb{R}</math> je [[gusti skup|gust]], odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva.
* Skup <math>\mathbb{R}</math> je [[neprebrojivi skup|neprebrojiv]].
* Elementi skupa <math>\mathbb{R}</math> prekrivaju čitav [[brojevni pravac]].
Skup realnih brojeva, zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, primjer je [[Polje (matematika)|polja]].

== Osnovna svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva ==

Za polje realnih brojeva vrijedi:<ref name="M1"> Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: ''Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije)'', Element, Zagreb, 1996.</ref>{{is|str. 17.}}

(R1) <math>a + b \in \mathbb{R}, \forall a, b \in \mathbb{R}</math> (zatvorenost zbrajanja)

(R2) <math>(a + b) + c = a + (b + c), \forall a, b, c \in \mathbb{R}</math> (asocijativnost zbrajanja)

(R3) <math>a + 0 = a, \forall a \in \mathbb{R}</math> (neutralnost nule pri zbrajanju)

(R4) <math>(\forall a \in \mathbb{R})(\exist -a \in \mathbb{R})(a + (-a) = 0)</math> (postojanje suprotnog broja)

(R5) <math>a + b = b + a, \forall a, b \in \mathbb{R}</math> (komutativnost zbrajanja)

(R6) <math>ab \in \mathbb{R}, \forall a, b \in \mathbb{R}</math> (zatvorenost množenja)

(R7) <math>(ab)c = a(bc), \forall a, b, c \in \mathbb{R}</math> (asocijativnost množenja)

(R8) <math>a \cdot 1 = a, \forall a \in \mathbb{R}</math> (neutralnost jedinice pri množenju)

(R9) <math>(\forall 0 \neq a \in \mathbb{R})(\exist a^{-1} \in \mathbb{R})(aa^{-1} = 1)</math> (postojanje inverznog broja)

(R10) <math>ab = ba, \forall a, b \in \mathbb{R}</math> (komutativnost množenja)

(R11) <math>a(b + c) = ab + ac, \forall a, b, c \in \mathbb{R}</math> (distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva)

(R11)' <math>(a + b)c = ac + bc, \forall a, b, c \in \mathbb{R}</math> (distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna)

== Uređaj u skupu realnih brojeva ==

Realni broj <math>a</math> manji je od realnog broja <math>b</math> ako postoji pozitivan realni broj <math>p</math> takav da je <math>a + p = b</math>.
Uređaj ima sljedeća svojstva:<ref name="M1" />{{is|str. 61.}}

* ''tranzitivnost uređaja'': <math>a < b \land b < c \implies a < c</math>
* ''odnos uređaja prema zbrajanju'': <math>a < b \implies a + x < b + x, \forall x \in \mathbb{R}</math>
* ''odnos uređaja prema množenju'': <math>a < b \implies ax < bx, \forall x > 0</math> i <math>a < b \implies ax > bx, \forall x < 0</math>

== Izvori ==
{{Izvori}}

[[Kategorija:Brojevi]]
{{mrva-mat}}

Realni broj - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica