WikiSysop: skini nepotrebne znakove

2022-03-16T12:23:07Z

skini nepotrebne znakove

←Starija inačica		Inačica od 16. ožujak 2022. u 12:23
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Rang matrice'''-->'''~~Rang matrice''' je jedan od najvažnijih pojmova [[linearna algebra\|linearne algebre]], područja [[matematika\|matematike]]. U izvjesnom smislu, rang mjeri "punoću" [[matrica (matematika)\|matrice]] i njoj odgovarajućeg [[linearno preslikavanje\|linearnog preslikavanja]]. Pojam [[komplementarnost\|komplementaran]] rangu je [[defekt matrice]].		Rang matrice''' je jedan od najvažnijih pojmova [[linearna algebra\|linearne algebre]], područja [[matematika\|matematike]]. U izvjesnom smislu, rang mjeri "punoću" [[matrica (matematika)\|matrice]] i njoj odgovarajućeg [[linearno preslikavanje\|linearnog preslikavanja]]. Pojam [[komplementarnost\|komplementaran]] rangu je [[defekt matrice]].

	== Definicija ==		== Definicija ==

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T05:26:51Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Rang matrice''' je jedan od najvažnijih pojmova [[linearna algebra|linearne algebre]], područja [[matematika|matematike]]. U izvjesnom smislu, rang mjeri "punoću" [[matrica (matematika)|matrice]] i njoj odgovarajućeg [[linearno preslikavanje|linearnog preslikavanja]]. Pojam [[komplementarnost|komplementaran]] rangu je [[defekt matrice]].

== Definicija ==

Postoji nekoliko ekvivalentnih definicija ranga matrice. Najčešće se on definira kao dimenzija [[slika matrice|slike matrice]], odnosno kao [[dimenzija vektorskog prostora|dimenzija]] [[vektorski prostor|prostora]] koji generiraju (katkad se kaže i "razapinju") njeni stupci. Drugim riječima, rang matrice je najveći broj njenih [[linearna nezavisnost|linearno nezavisnih]] stupaca.

Vektorski prostor koji generiraju stupci matrice naziva se i njenim prostorom stupaca, a njegova dimenzija '''rangom stupaca'''. Analogno, prostor redaka je vektorski prostor koji generiraju redci matrice, dok njegovu dimenziju nazivamo '''rangom redaka'''. Rang redaka i rang stupaca svake matrice su jednaki, odakle i slijedi zajednički naziv "rang". Posebno je rang matrice jednak rangu njoj [[transponirana matrica|transponirane matrice]].

Elementarne operacije nad redcima i stupcima matrice ne mijenjaju njen rang. Stoga [[ekvivalentne matrice|ekvivalentne]] (i posebno [[slične matrice|slične]]) matrice imaju jednak rang. Sve matrice [[linearno preslikavanje|linearnog preslikavanja]] između dva vektorska prostora u odnosu na proizvoljan par njihovih [[baza vektorskog prostora|baza]] su ekvivalentne; njihov zajednički rang se naziva i rangom danog linearnog preslikavanja i jednak je dimenziji njegove slike. Rang matrice je također jednak broju vodećih kolona u [[po redcima svedeni ešelonski oblik|po redcima svedenom ešelonskom obliku]] matrice, ili broju tzv. ''pivotnih elemenata''; ova definicija se često koristi u uvodnim kolegijima linearne algebre. Alternativno, matrica se može rabeći elementarne operacije i nad redcima i nad stupcima svesti na jedinstveno određenu ekvivalentnu joj matricu u ''reduciranom ešalonskom obliku''. U tom obliku matrice, svi su elementi jednaki nuli, osim pivotnih elemenata koji su jednaki jedinici.

'''Determinantni rang''' matrice je red najveće njene [[inverzna matrica|inverzibilne]] [[podmatrica|podmatrice]], odnosno najvećeg njenog ne-nul [[minor]]a. Determinantni rang matrice jednak je njenom rangu.

== Svojstva ranga==

Rang ''m''×''n'' matrice je [[cijeli broj]] između 0 i min(''m'',''n''). Jedina matrica ranga nula je [[nul-matrica]]. Kvadratna matrica reda ''n'' je ranga ''n'' ako i samo ako je ''regularna'' (tj. ako ima inverz), te stoga za regularne matrice kažemo i da su "punog ranga". Općenitije, rang dijagonalne ili trokutaste kvadratne matrice jednak je broju njenih ne-nul svojstvenih vrijednosti (tj. vrijednosti različitih od nule, koje se nalaze na glavnoj dijagonali), uračunavajući kratnosti (tj. brojeći i ponavljanja). Ako je 0≤''k''≤''n'' i ''P'' matrica [[projekcija|projekcije]] prostora '''R'''''n'' na neki njegov ''k''-dimenzioni [[vektorski potprostor|potprostor]] (ortogonalne ili duž bilo kojeg komplementarnog (''n'' − ''k'')-dimenzionalnog potprostora), tada je ''P'' ranga ''k''. Svaka matrica ranga ''k'' je umnožak inverzibilne matrice i matrice projekcije na neki ''k''-dimenzionalni potprostor.

Linearno preslikavanje ''L'' : '''R'''''n'' → '''R'''''m'' je monomorfizam ([[injekcija (matematika)|injektivno]]) ako i samo je ''r''(''L'') = ''n'', a epimorfizam ([[surjekcija|surjektivno]]) ako i samo ako je ''r''(''L'') = ''m''. Za ''m'' × ''n'' matricu kažemo da je "punog ranga stupaca" ako je ''r''(''A'') = ''n'', odnosno "punog ranga redaka" ako je ''r''(''A'') = ''m''.

Jedan od najvažnijih iskaza o rangu matrice, koji ponekad naziva i ''osnovni teorem linearne algebre'', je sljedeći
:'''[[Teorem o rangu i defektu]]''': Za svaku ''m'' × ''n'' matricu ''A'' je
::δ(''A'') + ''r''(''A'') = ''n''.
:U ovoj tvrdnji s δ(''A'') je označena dimenzija jergre matrice A, odnosno linearnog podprostora kojeg matrica ''A'' preslikava u nul-matricu.

Značajno svojstvo ranga matrice je i sljedeća [[Sylvesterova nejednakost]]:
:''r''(''B'') + ''r''(''ABC'')  ≥  ''r''(''AB'') + ''r''(''BC''),
koja vrijedi za svake tri matrice ''A'', ''B'', ''C'' formata takvog da su svi matrični produkti u nejednakosti definirani. Posebno je za svake dvije ''m'' × ''n'' i ''n'' × ''p'' matrice ''A'' i ''B''
:''r''(''A'') + ''r''(''B'') − ''n''  ≤  ''r''(''AB'')  ≤  min(''r''(''A''), ''r''(''B'')).
Rang umnoška ''AB'' je jednak rangu matrice ''A'' ako je ''B'' punog ranga redaka, i rangu matrice ''B'' ako je ''A'' punog ranga stupaca.

Konačno, kako je ker(''A''T''A'') = ker(A) (tj. kako su jezgre (potprostori koje linearna preslikavanja preslikavaju u nulu) matrica ''A''T''A'' i ''A'' jednake), to je prema teoremu o rangu i defektu i
:''r''(''A''T''A'') = ''r''(''A'').
Prema ovoj jednakosti je rang realne matrice jednak broju njenih ne-nul [[singularna vrijednost|singularnih vrijednosti]].

== Rang i sustavi linearnih jednadžbi ==

[[Kronecker-Capelijev teorem]] tvrdi da je sustav linearnih jednadžbi
:''A'''''x''' = '''b'''
konzistentan (tj. da egzistiraju rješenja sustava) ako i samo ako je rang proširene matrice sustava [ ''A'' : '''b''' ] jednak rangu matrice koeficijenata sustava ''A''.

Rang matrice može ponuditi i dodatne informacije o broju rješenja linearnog sustava (formata ''m'' × ''n'', odnosno sustava ''m'' jednadžbi s ''n'' nepoznanica), na primjer:

*Ako je ''r''(''A'') = ''m'', tada će matrica sustava u ešalonskom obliku imati vodeću varijablu (pivotni element) u svakoj od jednadžbi i stoga je sustav nužno konzistentan. Rješenje sustava biti će jedinstveno ako je ''m'' = ''n''. Ukoliko je ''m'' < ''n'', sustav će imati beskonačno mnogo rješenja (koja čine afin potprostor dimenzije ''n'' − ''m''). Treba primijetiti kako je situacija u kojoj je ''n'' < ''m'' nemoguća, budući tada rang matrice ne bi mogao biti jednak ''m''.

*Ako je ''r''(''A'') = ''n'', tada su sve varijable vodeće u ešalonskom obliku, pa je sustav ili nekonzistentan ili ima jedinstveno rješenje, ovisno od toga je li rang proširene matrice sustava jednak ''n'' + 1 ili ''n''.

*Ako je ''r''(''A'') < ''n'', tada sustav ima i slobodnih varijabli u ešalonskom obliku, pa je ili nekonzistentan ili ima beskonačno mnogo rješenja, ovisno od toga je li rang proširene matrice sustava veći ili jednak ''r''(''A'').

== Numeričko izračunavanje ==

Rang matrice se uvijek može izračunati [[Gaussov postupak eliminacije|Gaussovim postupkom eliminacije]], ali je u [[Numerička_linearna_algebra|numeričkim izračunavanjima]] koja koriste [[aritmetika pomičnog zareza|aritmetiku pomičnog zareza]] ovaj postupak ([[LU dekompozicija|''LU'' dekompozicija]]) nestabilan. Umjesto njega, češće se koriste [[dekomopozicija po singularnim vrijednostima]] ili [[QR dekompozicija|''QR'' dekompozicija]] s pivotima. Numeričko određivanje ranga uvijek uključuje i praktični izbor praga pomoću kojeg se određuje kad element jako male numeričke vrijednosti treba tretirati kao nulu, koji će ovisiti o svojstvima matrice i konkretne primjene.

== Poopćenja ==

Rang se definira i za matrice nad proizvoljnim [[prsten (algebra)|prstenovima]]. U ovim poopćenjima, rang stupaca (najveći broj linearno nezavisnih stupaca), rang redaka, dimenzija prostora stupaca, dimenzija prostora redaka, determinantni rang, itd. mogu biti međusobno različiti ili biti nedefinirani.

Rang glatkog preslikavanja između dvije glatke [[mnogostrukost]]i u nekoj točki se definira kao (linearni) rang njegovog [[diferencijal]]a.

[[Kategorija:Linearna algebra]]

Rang matrice - Povijest promjena

WikiSysop: skini nepotrebne znakove

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica