Radijalna distribucijska funkcija - Povijest promjena

WikiSysop: file->datoteka

2022-05-07T18:34:22Z

file->datoteka

←Starija inačica		Inačica od 7. svibanj 2022. u 18:34
Redak 1:		Redak 1:
	<!--'''Radijalna distribucijska funkcija'''-->[[~~File~~:Rdf schematic.jpg\|thumb\|250px\|right\|računanje <math>g(r)</math>]]		<!--'''Radijalna distribucijska funkcija'''-->[[Datoteka:Rdf schematic.jpg\|thumb\|250px\|right\|računanje <math>g(r)</math>]]
	'''Radijalna distribucijska funkcija''' (RDF), u [[Statistička mehanika\|statističkoj mehanici]], pokazuje kako se mijenja gustoća u odnosu na udaljenost od referentne čestice, u sustavu više čestica. Od iznimne je važnosti za statističku mehaniku i molekularnu dinamiku, s obzirom da povezuje mikroskopske detalje sa makroskopskim svojstvima.		'''Radijalna distribucijska funkcija''' (RDF), u [[Statistička mehanika\|statističkoj mehanici]], pokazuje kako se mijenja gustoća u odnosu na udaljenost od referentne čestice, u sustavu više čestica. Od iznimne je važnosti za statističku mehaniku i molekularnu dinamiku, s obzirom da povezuje mikroskopske detalje sa makroskopskim svojstvima.

Redak 13:		Redak 13:

	==Definicija==		==Definicija==
	[[~~File~~:RDF molekula vode.png\|thumb\|RDF 1000 molekula vode na 300K.]]		[[Datoteka:RDF molekula vode.png\|thumb\|RDF 1000 molekula vode na 300K.]]

	Promotrimo sustav od <math>N</math> čestica u volumenu <math>V</math> i na temperaturi <math>T</math>. Označimo koordinate čestice sa <math>\mathbf{r}_{i}</math>, gdje je <math>\textstyle i = 1, \, \ldots, \, N</math>. Pošto ne razmatramo situaciju u kojoj na sustav djeluje neko vanjsko polje, [[potencijalna energija]] <math>\textstyle U_{N} (\mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{N})</math> je definirana samo kao interakcija između čestica.		Promotrimo sustav od <math>N</math> čestica u volumenu <math>V</math> i na temperaturi <math>T</math>. Označimo koordinate čestice sa <math>\mathbf{r}_{i}</math>, gdje je <math>\textstyle i = 1, \, \ldots, \, N</math>. Pošto ne razmatramo situaciju u kojoj na sustav djeluje neko vanjsko polje, [[potencijalna energija]] <math>\textstyle U_{N} (\mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{N})</math> je definirana samo kao interakcija između čestica.

WikiSysop: Bot: Automatska zamjena teksta (-{{cite book +{{Citiranje knjige)

2021-11-18T01:10:50Z

Bot: Automatska zamjena teksta (-{{cite book +{{Citiranje knjige)

←Starija inačica		Inačica od 18. studeni 2021. u 01:10
Redak 10:		Redak 10:
	<math>g(r) = \frac{\langle n(r)\rangle}{ 4\pi r^2\rho dr} </math>		<math>g(r) = \frac{\langle n(r)\rangle}{ 4\pi r^2\rho dr} </math>

	gdje je <math>g(r)</math> radijalna distribucijska funkcija, <math>\langle n(r)\rangle</math> srednji broj čestica, a <math>\rho</math> [[gustoća]]. <ref>L. Zoranić, [http://mapmf.pmfst.unist.hr/~larisaz/md/vjezba2.pdf skripta iz Vježbi za kolegij "Molekularna dinamika"], str. 2</ref> <ref name="HansenMcDonald2005">{{~~cite book~~ \|author=[[Jean-Pierre Hansen\|Hansen, J. P.]] and McDonald, I. R. \|year=2005 \|title=Theory of Simple Liquids \|edition=3rd \|publisher=Academic Press}}</ref>		gdje je <math>g(r)</math> radijalna distribucijska funkcija, <math>\langle n(r)\rangle</math> srednji broj čestica, a <math>\rho</math> [[gustoća]]. <ref>L. Zoranić, [http://mapmf.pmfst.unist.hr/~larisaz/md/vjezba2.pdf skripta iz Vježbi za kolegij "Molekularna dinamika"], str. 2</ref> <ref name="HansenMcDonald2005">{{Citiranje knjige \|author=[[Jean-Pierre Hansen\|Hansen, J. P.]] and McDonald, I. R. \|year=2005 \|title=Theory of Simple Liquids \|edition=3rd \|publisher=Academic Press}}</ref>

	==Definicija==		==Definicija==

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-10-25T06:01:54Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[File:Rdf schematic.jpg|thumb|250px|right|računanje <math>g(r)</math>]]
'''Radijalna distribucijska funkcija''' (RDF), u [[Statistička mehanika|statističkoj mehanici]], pokazuje kako se mijenja gustoća u odnosu na udaljenost od referentne čestice, u sustavu više čestica. Od iznimne je važnosti za statističku mehaniku i molekularnu dinamiku, s obzirom da povezuje mikroskopske detalje sa makroskopskim svojstvima.

Drugačije iskazano, RDF pokazuje kolika je vjerojatnost da se čestica nađe na nekoj udaljenosti <math>r</math> od referentne čestice.

RDF se, tipično, računa tako da se izračunaju udaljenosti između svih parova čestica. Ti podatci se zatim skupe u histogram, koji se normalizira u odnosu na [[idealni plin]] (u kojem su čestice totalno nekorelirane).

RDF se može definirati preko srednjeg broja čestica u ljusci debljine <math>dr</math> na udaljenosti <math>r</math> od referentnog atoma, odnosno:

<math>g(r) = \frac{\langle n(r)\rangle}{ 4\pi r^2\rho dr} </math>

gdje je <math>g(r)</math> radijalna distribucijska funkcija, <math>\langle n(r)\rangle</math> srednji broj čestica, a <math>\rho</math> [[gustoća]]. <ref>L. Zoranić, [http://mapmf.pmfst.unist.hr/~larisaz/md/vjezba2.pdf skripta iz Vježbi za kolegij "Molekularna dinamika"], str. 2</ref> <ref name="HansenMcDonald2005">{{cite book |author=[[Jean-Pierre Hansen|Hansen, J. P.]] and McDonald, I. R. |year=2005 |title=Theory of Simple Liquids |edition=3rd |publisher=Academic Press}}</ref>

==Definicija==
[[File:RDF molekula vode.png|thumb|RDF 1000 molekula vode na 300K.]]

Promotrimo sustav od <math>N</math> čestica u volumenu <math>V</math> i na temperaturi <math>T</math>. Označimo koordinate čestice sa <math>\mathbf{r}_{i}</math>, gdje je <math>\textstyle i = 1, \, \ldots, \, N</math>. Pošto ne razmatramo situaciju u kojoj na sustav djeluje neko vanjsko polje, [[potencijalna energija]] <math>\textstyle U_{N} (\mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{N})</math> je definirana samo kao interakcija između čestica.

Promatramo [[kanonski ansambl]] <math>(N,V,T)</math> u kojem je [[patricijska funkcija]] definirana kao <math>\textstyle Z_{N} = \int \cdots \int \mathrm{e}^{-\beta U_{N}} \mathrm{d} \mathbf{r}_1 \cdots \mathrm{d} \mathbf{r}_N</math>. Tada je vjerojatnost da se čestica 1 nađe u <math>\textstyle \mathrm{d} \mathbf{r}_1</math>, čestica 2 u <math>\textstyle \mathrm{d} \mathbf{r}_2</math>, itd., dana sa jednadžbom

:<math> P^{(N)}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N ) \, \mathrm{d} \mathbf{r}_1 \cdots \mathrm{d} \mathbf{r}_N = \frac{\mathrm{e}^{-\beta U_{N}}}{Z_N} \, \mathrm{d} \mathbf{r}_1 \cdots \mathrm{d} \mathbf{r}_N\, </math>.

Ukoliko nas zanimaju pozicije manjeg broja čestica, tada možemo fiksirati određen broj čestica <math>N-n</math>, te integrirati prethodni izraz po preostalim koordinatama <math>\mathbf{r}_{n+1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{N}</math>:

: <math> P^{(n)}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_n) =\frac{1}{Z_N} \int \cdots \int \mathrm{e}^{-\beta U_N} \, \mathrm{d} \mathbf{r}_{n+1} \cdots \mathrm{d} \mathbf{r}_N \, </math>.

S obzirom da su čestice indentične, više nam odgovara gledati vjerojatnost da bilo koje <math>n</math> čestice zauzmu poziciju <math>\textstyle \mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{n}</math> u bilo kojoj [[Permutacija|permutaciji]] - što definira <math>n</math>-čestičnu gustoću

:<math>\rho^{(n)}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_n) =\frac{N!}{(N-n)!} P^{(n)} (\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_n) \, </math>

Uvođenjem korelacijske funkcije <math> g^{(n)}</math>

:<math>\rho^{(n)}(\mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{n}) = \rho^{n}g^{(n)}(\mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{n}) \, </math>

gdje je <math>\rho^{(n)}</math> jednako <math>\rho^{n}</math>, a <math>g^{(n)}</math> ispravlja korelaciju između atoma, dolazimo do konačne relacije:

:<math>g^{(n)}(\mathbf{r}_{1}\, \ldots, \, \mathbf{r}_{n}) = \frac{V^{n}N!}{N^{n}(N-n)!} \cdot \frac{1}{Z_N} \, \int \cdots \int \mathrm{e}^{-\beta U_N} \, \mathrm{d} \mathbf{r}_{n+1} \cdots \mathrm{d} \mathbf{r}_N \, </math>

==Izvori==

[[Kategorija:Statistička fizika]]